Witam, potrzebuje pomocy z obliczenie sumy szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{k+1}{(k-1)!}}\)
suma szeregu
-
mmttdd
- Użytkownik
- Posty: 113
- Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 20 razy
suma szeregu
Zakładając, że wiemy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} =e^x}\) zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} =e^x-1}\)
Rozważmy szereg funkcyjny:
\(\displaystyle{ s(x)= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(k+1)}{(k-1)!}x^k=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \frac{x^{k+1}}{(k-1)!}\right)= \frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{(k-1)!}\right)= \frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( x^2 \sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\right)=\frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( x^2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\right)=\frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( x^2 \left( e^x-1\right) \right)=2x e^x+x^2 e^x-2x}\)
zatem dla x=1
\(\displaystyle{ s(1)=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(k+1)}{(k-1)!}=3e-2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} =e^x}\) zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} =e^x-1}\)
Rozważmy szereg funkcyjny:
\(\displaystyle{ s(x)= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(k+1)}{(k-1)!}x^k=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \frac{x^{k+1}}{(k-1)!}\right)= \frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{(k-1)!}\right)= \frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( x^2 \sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}\right)=\frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( x^2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}\right)=\frac{\mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( x^2 \left( e^x-1\right) \right)=2x e^x+x^2 e^x-2x}\)
zatem dla x=1
\(\displaystyle{ s(1)=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(k+1)}{(k-1)!}=3e-2}\)
-
bakala12
- Użytkownik
- Posty: 3035
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gołąb
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 513 razy
suma szeregu
Ciut inaczej, korzystamy ze znanego faktu, że \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}=e}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{k+1}{\left( k-1\right)!}= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{\left( k-1\right)!}+ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{2}{\left( k-1\right)!}= \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\left( k-2\right)!}+ 2\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\left( k-1\right) !}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}+2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e+2\left( e-1\right)=3e-2}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{k+1}{\left( k-1\right)!}= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k-1}{\left( k-1\right)!}+ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{2}{\left( k-1\right)!}= \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\left( k-2\right)!}+ 2\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\left( k-1\right) !}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}+2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}=e+2\left( e-1\right)=3e-2}\)