Granica ciągu zadanego rekurencyjnie

[Astose]

1. Znaleźć granicę ciągu zadanego rekurencyjnie wzorami:
\(\displaystyle{ a_1 = \alpha, a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{5}{a_n}\right)}\), dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\), dla \(\displaystyle{ \alpha = 2}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha=3}\).
2. (Prostsze) Zbadać, czy ciąg zadany wzorem jest zbieżny:
\(\displaystyle{ a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}\)

ad 1. Chodzi mi o podanie sposobu w jaki powinienem tego typu zadania rozwiązywać (ciągi rekurencyjne), gdyż nie byłem na zajęciach gdy ten temat był omawiany. Mógłbym obliczyc pierwsze kilka wyrazów a następnie zobaczyć jak sie zachowują, ale z ciągami rekurencyjnymi już jest tak, ze bardzo często w pewnym miejscu wyskakują ponad całą resztę, potem spadają i tak w nieskończoność.
ad 2. Doszedłem do wniosku, żeby wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach i ograniczyć przez:
\(\displaystyle{ n \cdot \frac{1}{2n} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} \le n \cdot \frac{1}{n}}\)
W wyniku czego dostanę:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} \le 1}\)
więc za wiele to nie pomogło. Prosiłbym o wszelkie sugestie (a zwłaszcza sposoby rozwiązywania zadań typu podpunktu a) - może być odwołanie do jakiejś strony czy czegoś tego rodzaju)

[kamil13151]

1) Zamieszczam przykładowe rozwiązanie, strona 5.

amekon12z-05-notes.pdf

(116.93 KiB) Pobrany 80 razy

2)

więc za wiele to nie pomogło

to rozwiązało zadanie

[Astose]

Dziękuję za odpowiedź.

2)

więc za wiele to nie pomogło

to rozwiązało zadanie

czyli po prostu koniec? Ponieważ samo użycie twierdzenia o trzech ciągach i nie dojściu do zbieżności szczerze mnie nie przekonuje. Przecież może istnieje jakis inny ciąg który to ograniczy albo użycie innej metody, za pomocą której określimy czy szereg jest zbieżny/rozbieżny?

PS: Przepraszam za kłopot, jednakże jeżeli bym dodał do pierwszego postu w tym temacie dodatkowe zadania - spowodowałbym, że osoby które już widziały ten temat nie zauważyłyby zmiany pierwszego postu - w wyniku czego możliwe byłoby, że nikt by nie odpowiedział.
EDIT
Przepraszam, nie zauważyłem przeniesienia postu do nowego tematu

[Arytmetyk]

Jest ograniczony i rosnący zatem zbieżny.

[Astose]

Jest ograniczony i rosnący zatem zbieżny.

Czyli jeżeli dobrze rozumiem, to muszę zbadać czy ciąg jest ograniczony i rosnący/malejący, żeby stwierdzić czy jest zbieżny?
To takie jeszcze jedno pytanie dotyczące tego ciągu: czy obliczenie tej granicy jest w miare proste, czy trzebaby poświęcić dłuższej chwili w tym celu?

[Dasio11]

Obliczenie tej granicy jest dość trudne.

[a4karo]

Jest ograniczony i rosnący zatem zbieżny.

To, czy jest rosnący wcale nie jest oczywiste: wyrazów w kolejnej sumie jest co prawda więcej, ale są one mniejsze.

[mmttdd]

Ten ciąg jest malejący, rozpatrzmy nierówność:
\(\displaystyle{ a _{n} > a _{n+1} \\ \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n} >
\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\)
upraszczając składniki występujące po obu stronach:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} > \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2} \\ \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n} > \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}}\)
Ta nierówność jest spełniona dla wszytkich \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)

To takie jeszcze jedno pytanie dotyczące tego ciągu: czy obliczenie tej granicy jest w miare proste, czy trzebaby poświęcić dłuższej chwili w tym celu?

To zależy na ile chcesz wszystko sam wyprowadzić, a na ile skorzystasz z gotowych rezultatów.
Wyraz ogólny ciągu można przedstawić jako różnicę dwóch liczb harmonicznych:
\(\displaystyle{ a _{n}=H _{2n}-H _{n-1}}\)
Korzystając ze wzoru:
\(\displaystyle{ H _{n}=\ln n+ \gamma+\epsilon _{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \epsilon _{n} \rightarrow 0}\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) (ponadto \(\displaystyle{ \epsilon _{n}\sim \frac{1}{2n}}\) ale to jest nieistotne w naszym przypadku)
obliczenie granicy jest trywialne i wynosi ona \(\displaystyle{ \ln 2}\), ale wyprowadzenie wzoru na \(\displaystyle{ H _{n}}\) jest dużo trudniejsze.