\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}}{1+x^{2010}} \dx}\) dx
Proszę o jakąś podpowiedź, zupełnie nie wiem w jaki sposób to rozwiązać.
całka nieoznaczona
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4398
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
całka nieoznaczona
izak110, kurcze! Też męczę się przez Ciebie z tą całką !
Póki co wpadlem jedynie na podstawienie:
\(\displaystyle{ x^4=t \\ x^{2010}= t^{502,5} \\ 4x^3 dx= dt \\ x^3 dx = \frac{1}{4}dt}\)
Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}}{1+x^{2010}} \dd x= \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+ t^{502,5}}}\)
Próbuje to jakoś może wyciągnąć na arcusatangensa ale nie idzie mi... Może ktoś podpowie? Tylko nie dawajcie gotowego rozwiązania. Szkoda zabawy.
Póki co wpadlem jedynie na podstawienie:
\(\displaystyle{ x^4=t \\ x^{2010}= t^{502,5} \\ 4x^3 dx= dt \\ x^3 dx = \frac{1}{4}dt}\)
Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}}{1+x^{2010}} \dd x= \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1+ t^{502,5}}}\)
Próbuje to jakoś może wyciągnąć na arcusatangensa ale nie idzie mi... Może ktoś podpowie? Tylko nie dawajcie gotowego rozwiązania. Szkoda zabawy.
-
rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2031
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
całka nieoznaczona
Całka jest dość nieprzyjemna ze względu na potęgę w mianowniku. Mathematica wyrzuca masakrycznie długi wynik. Moja propozycja to może zapisanie całki rekurencyjnie. Może uda się znaleźć wzór ogólny.
--------
EDIT:
Cytując za I.S. Gradsztejn, I.M. Ryzhyk "Tablicy integralov, summ, riadov i proizviedienij", Moskwa 1963:
Dla \(\displaystyle{ m,n\in Z \wedge m<2n}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{m-1}}{1+x^{2n}} \mbox{d}x \\=-\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^n \cos\frac{m\pi (2k-1)}{2n}\ln\left(1-2x\cos\frac{2k-1}{2n}\pi +x^2\right)+\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \sin\frac{m\pi (2k-1)}{2n}\arctan\frac{x-\cos\frac{2k-1}{2n}\pi}{\sin\frac{2k-1}{2n}\pi}}\)
--------
EDIT:
Cytując za I.S. Gradsztejn, I.M. Ryzhyk "Tablicy integralov, summ, riadov i proizviedienij", Moskwa 1963:
Dla \(\displaystyle{ m,n\in Z \wedge m<2n}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{m-1}}{1+x^{2n}} \mbox{d}x \\=-\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^n \cos\frac{m\pi (2k-1)}{2n}\ln\left(1-2x\cos\frac{2k-1}{2n}\pi +x^2\right)+\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \sin\frac{m\pi (2k-1)}{2n}\arctan\frac{x-\cos\frac{2k-1}{2n}\pi}{\sin\frac{2k-1}{2n}\pi}}\)
-
leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4398
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
całka nieoznaczona
rtuszyns, szok... naprawde nie można tego inaczej policzyć? Jestem strasznie ciekawy. Czy są własnie jawne wzory na dowolną potęge przy iksie? Mam na myśli takie samo wyrażenie jak w danej calce tyle, że inna potęga niż \(\displaystyle{ 2010}\).
-
rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2031
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
całka nieoznaczona
Tak, jest jeszcze wzór dla potęgi naturalnej nieparzystej w mianowniku.
Książka, z której pochodzi ten wzór jest dość stara (i dość gruba) ale jest bardzo dobra i muszę przyznać, że wielokrotnie się przydała. Książka ta to był prezent od koleżanki i tylko się cieszyć z takich prezentów.
Książka, z której pochodzi ten wzór jest dość stara (i dość gruba) ale jest bardzo dobra i muszę przyznać, że wielokrotnie się przydała. Książka ta to był prezent od koleżanki i tylko się cieszyć z takich prezentów.
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2395
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
całka nieoznaczona
Raczej poniższa wiadomość nie będzie zbytnio użyteczna, gdy chce się mieć funkcję wyrażoną za pomocą funkcji elementarnych, tym niemniej:
\(\displaystyle{ \frac{x^3}{1+x^{2010}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n x^{2010 n + 3}}\)
Całkując wyraz po wyrazie:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{1+x^{2010}}\mbox{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int(-1)^n x^{2010 n + 3}\mbox{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2010 n+4}}{2010 n+4}+C}\)
Co jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4} x^4 \, _2F_1\left(\frac{2}{1005},1;\frac{1007}{1005};-x^{2010}\right)+C}\), z czego można przejść na wzór podany przez rtuszynsa po niekrótkiej zabawie.
\(\displaystyle{ \frac{x^3}{1+x^{2010}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n x^{2010 n + 3}}\)
Całkując wyraz po wyrazie:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{1+x^{2010}}\mbox{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int(-1)^n x^{2010 n + 3}\mbox{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2010 n+4}}{2010 n+4}+C}\)
Co jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{4} x^4 \, _2F_1\left(\frac{2}{1005},1;\frac{1007}{1005};-x^{2010}\right)+C}\), z czego można przejść na wzór podany przez rtuszynsa po niekrótkiej zabawie.