[Nierówności] Nierówność z Balitca - do sprawdzenia.

[Cwany_Lutek]

Cześć,
Mam prośbę do użytkowników tego forum. Próbowałem rozwiązać ostatnio zadanie z Olimpiad Bałtyckich z 2003 roku i nie jestem pewnien poprawności mojego rozwiązania. Czy któś mógłby to zweryfikować?

\(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R_+}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \geq \frac{2a}{a^{2}+bc}+\frac{2b}{b^{2}+ca}+\frac{2c}{c^{2}+ab}}\)

Popatrzmy na pojedyncze elementy.

\(\displaystyle{ \frac{a}{bc} \geq \frac{2a}{a^2+bc}}\)
\(\displaystyle{ a^3 + abc \geq 2abc}\) czyli \(\displaystyle{ a^2 \geq bc}\)

Stąd nasza nierówność sprowadza się do:

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca}\)
No a to można prosto udowodnić poprzez ciągi jednomonotonicze.

Czy taki tok rozumowania jest poprawny?

[Vax]

Nie, jest źle. Z reguły takie szacowania rzadko działają.

[Cwany_Lutek]

Vax, a możesz mi powiedzieć czemu jest źle?

[Vax]

Bo żeby zachodziły wszystkie 3 szacowania (te które napisałeś i 2 analogiczne dla kolejnych składników) musiałoby zachodzić \(\displaystyle{ a^2 \ge bc \wedge b^2 \ge ac \wedge c^2 \ge ab}\), ale jeżeli bez straty ogólności \(\displaystyle{ c = min(a,b,c)}\) to \(\displaystyle{ c^2 \ge ab \ge c\cdot c = c^2}\), czyli żeby te 3 nierówności zachodziły musi być \(\displaystyle{ a=b=c}\), no a my mamy pokazać prawdziwość tej nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) dodatnich.