Rozwiąż ukł. met. macierzową

[Marcepan99]

\(\displaystyle{ x'=-3x+y+ e^{-3t}}\)
\(\displaystyle{ y'=-x-5y}\)
\(\displaystyle{ x(0)=1}\)
\(\displaystyle{ y(0)=-1}\)
\(\displaystyle{ X'=AX+B}\)
Mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu tego met. macierzową? Teraz mam wyznaczyć wartości własne. Co mam zrobić z B, tzn odkąd wziąć je pod uwagę, zawsze rozwiązywaliśmy dla B=0

[Rudis]

Nie ten dział.

Najpierw rozpatrz równanie jednorodne tj. :

\(\displaystyle{ X'=AX}\)

Rozwiązania tego równania szukamy w postaci

\(\displaystyle{ x=e ^{\lambda t}w}\)

gdzie "w" to wektor własny macierzy współczynników.Tworzysz z rozwiązań macierz fundamentalną i dostajesz rozwiązanie rownania jednorodnego w postaci \(\displaystyle{ X'=X(t)C}\) , gdzie "C" kolumna dowolnych stałych.I tu powstaje pytanie czy można zastąpić macierz "C" macierzą funkcji "C(t)" , tak dobraną aby funkcja \(\displaystyle{ X=X(t)C(t)}\) była całką ogólną równania początkowego.Liczysz pochodną "X" i wstawiasz do początkowego równania. Zauważasz , że \(\displaystyle{ X'=AX(t)}\).Gdy juz podstawileś to wyliczasz kolumne "C(t)" i wstawiasz do związku \(\displaystyle{ X=X(t)C(t)}\) o trzymując tym samym rozwiązanie.

Przedstaw swoje rozwiązanie. Wtedy sprawdzę czy załapałeś/as.

[Marcepan99]

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-3&1\\-1&-5\end{array}\right] \\
\lambda_{1,2}=-4\\
\left[\begin{array}{ccc}1&1\\-1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\end{array}\right]\\
b=p\\
p-parametr\\
a_{1}=\left[\begin{array}{ccc}-1\\1&\end{array}\right]p\\
X=(a_{0}+a_{1}t)e^{-4t}\\
X'=e^{-4t}(a_{1}-4a_{0}-4a_{1}t)\\
X'=AX\\
A(a_{0}+=a_{1}t)e^{-4t}=e^{-4t}(a_{1}-4a_{0}-4a_{1}t)\\
Aa_{0}=-4a_{0}+a_{1} \\
a_{1}=(A+4I)a_{0}\\
Aa_{1}=-4a_{1}\\
(A+4I)a_{1}=0\\
\left[\begin{array}{ccc}1&1\\-1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a\\b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1\\1\end{array}\right]p\\
b=r\\
r-parametr\\
a_{0}=\left[\begin{array}{ccc}-p&-r\\r\end{array}\right]\\
X=(\left[\begin{array}{ccc}-p&-r\\r\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}-p\\p\end{array}\right]t)e^{-4t}\\
X=\left[\begin{array}{ccc}(-1-t)e^{-4t}&-e^{-4t}\\te^{-4t}&e^{-4t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}C_{1}\\C_{2}\end{array}\right]\\
X=\left[\begin{array}{ccc}(-1-t)e^{-4t}&-e^{-4t}\\te^{-4t}&e^{-4t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}C'_{1}\\C'_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}e^{-3t}\\0\end{array}\right]\\
W-wyznacznik\\
W=-e^{-8t}\\
C'_{1}=-e^{t}\\
C'_{2}=te^{t}}\)
Teraz całkujemy C1 i C2, potem mnożymy macierz przez te wyliczone C, a na końcu dodajemy do macierzy wrońskiego tę macierz w której C obliczyliśmy?

[Rudis]

Nie do końca o to chodziło.Gdy już masz taki związek :

\(\displaystyle{ x=\left[\begin{array}{ccc}(-1-t)e^{-4t}&-e^{-4t}\\te^{-4t}&e^{-4t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}C_{1}\\C_{2}\end{array}\right]\\}\)

Kolumne stałych "C" zastepujesz specjalnie dobranymi funkcjami które oznaczasz sobie jako np. "C(t)".(uzmienniasz stałą , kojarzysz z równań liniowych pierwszego rzedu?)

Z powyższego związku mozesz z łatwością wyliczyć " x' ". Jak to zrobisz to podstawiasz do równania wyjściowego ( postaci \(\displaystyle{ x'=A(t)x + f(t)}\)) x i x' . Zredukują Ci sie wyrazy zawierające C(t) ( Musisz skorzystać też ze związku x(t)'=A(t)x(t) ).Dostaniesz związek \(\displaystyle{ C'(t)x(t)=f(t)}\)
gdzie x(t) to macierz fundamentalna i dlatego mozesz ją odwrócić.U mnie oznaczenia są troszke inne niż u Ciebie wiec czytaj ze zrozumieniem.Jak wyliczysz C(t) to wstawiasz do :


\(\displaystyle{ x=\left[\begin{array}{ccc}(-1-t)e^{-4t}&-e^{-4t}\\te^{-4t}&e^{-4t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}C_{1}(t)\\C_{2}(t)\end{array}\right]\\}\)

I otrzymujesz szukaną całkę równania.