promień spektralny

[Matematyk111]

Obliczyć promień spektralny operatora \(\displaystyle{ A: l_{2} \rightarrow l_{2}}\) danego przez wzór \(\displaystyle{ Ax = (x_{1},x_{2}(1+ \frac{1}{2})^2, x_{3}(1+ \frac{1}{3})^3,....)}\).

Wiem, że \(\displaystyle{ r= \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left| \left| A^n\right| \right| }}\)

I nie wiem czy: \(\displaystyle{ A^nx =(x_{1},x_{2}(1+ \frac{1}{2})^{2n}, x_{3}(1+ \frac{1}{3})^{3n},....)}\) Jak liczyć normę?

[Spektralny]

\(\displaystyle{ A}\) jest operatorem mnożenia przez ciąg \(\displaystyle{ (1, (1+\tfrac{1}{2})^2, (1+\tfrac{1}{3})^3, \ldots)\in \ell_\infty}\) i norma \(\displaystyle{ A}\) to po prostu norma supremum tego ciągu. Masz rację, że \(\displaystyle{ A^n}\) wyraża się takim wzorem jak podałeś. Mamy zatem

\(\displaystyle{ r =\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\sup_{k\in\mathbb{N}}(1+\tfrac{1}{k})^{kn}}=e.}\)