Zbieżność całki parametr

[izaizaiza]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) całka jest zbieżna?

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{p} - 1 }dx}\)

[AdamL]

\(\displaystyle{ p \ge 1}\) rozbieżna dla pozostałych zbieżna, kryterium porównawcze lub ilorazowe zastosuj.

[Chromosom]

AdamL, a \(\displaystyle{ p=0}\)?

[AdamL]

AdamL, a \(\displaystyle{ p=0}\)?

Wtedy jest nieokreślona, dzieki za uwage, troche pozno to pisalem

[luka52]

\(\displaystyle{ p \ge -1}\) to zła odpowiedź.
Np. dla \(\displaystyle{ p = 1}\) jest logarytmicznie rozbieżna.

[AdamL]

Minus mi sie wkradł, juz poprawiam, dzieki

[luka52]

AdamL, to policz np. \(\displaystyle{ \int_0^1 \frac{dx}{x^2 - 1}}\)

[AdamL]

Ojojoj....w tym temacie tyle bledow zrobilem, ze az wstyd, na szybko napisalem, jakies logarytmy wyjda , wyjdzie rozbieżna przeciez , ale to z warunkiem \(\displaystyle{ p \ge 1}\) sie nie kłóci

[luka52]

Ta całka nigdy nie będzie zbieżna. Problemem jest osobliwość w \(\displaystyle{ x=1}\).
Można zbadać zachowanie funkcji podcałkowej w pobliżu osobliwości:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x^p - 1} = \frac{1}{(1 - (1-x))^p - 1} \approx \frac{1}{1 - p(1-x) -1} = \frac{1}{p(x-1)}}\)

Stąd widać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ p \neq 0}\) całka będzie rozbieżna.

[AdamL]

Racja, mój błąd, nie wiem dlaczego zasugerowalem sie funkcja \(\displaystyle{ \frac{1}{x^p}}\)