Dowód monotoniczności

[SzalonyMatematyk]

Udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=6^x-5^x}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ [0,infty)}\). Niby to oczywiste, ale nie wiem jak formalny dowód zrobić. Jakieś wskazówki?

[Simon86]

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x_{1}, x_{2} \in D_{f}} x_{1} < x_{2} \Rightarrow f\left( x_{1}\right) < f\left( x_{2}\right)}\)

[SzalonyMatematyk]

To wiem, co dalej?

[Qń]

Jeśli \(\displaystyle{ a>b>0}\), to:
\(\displaystyle{ 6^a>5^a}\)
i
\(\displaystyle{ 1-6^{b-a}>1- 5^{b-a}}\)

Wymnóż te nierówności stronami (co wolno zrobić, bo wszystko dodatnie) i wywnioskuj stąd tezę.

Q.

[Simon86]

Według mnie wystarczyło by uprościć np. wyrażenie:

\(\displaystyle{ f\left( x \right) - f\left( x + 1\right)}\)

I jeśli:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x \in R^{+}} f\left( x \right) - f\left( x + 1\right) < 0}\)

to funkcja jest rosnąca.

[Qń]

I jeśli:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x \in R^{+}} f\left( x \right) - f\left( x + 1\right) < 0}\)
to funkcja jest rosnąca.

Oczywiście to nieprawda.

Q.

[Simon86]

Myślałem że to wynika z definicji funkcji rosnącej którą napisałem wcześniej.

[Qń]

To przyjrzyj się funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} x \ \textrm{gdy} \ x\in \mathbb{Q} \\ x-1 \ \textrm{gdy} \ x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}}\)
dla której \(\displaystyle{ f(x)-f(x+1)}\) jest zawsze równe \(\displaystyle{ -1}\), ale która nie jest rosnąca.

Q.

[SzalonyMatematyk]

Dziękuję za pomoc, już wszystko jasne.