równość zbiorów

[Nitkabo]

mam udowodnić równość \(\displaystyle{ X \cup \bigcap_{t \in T} X_{t} = \bigcap_{t \in T}(X \cup X_{t})}\)
Zaczęłam tak:
\(\displaystyle{ x \in X \cup \bigcap_{t \in T} X_{t} \Leftrightarrow \newline
\Leftrightarrow x \in X \vee \bigwedge\limits_{t\in T} x\in X_{t} \Leftrightarrow \newline
\Leftrightarrow \bigwedge\limits_{t\in T} (x \in X \vee x \in X_{t})}\)...
czy ostatnie przejście jest poprawne?

[scyth]

Tak.

[Nitkabo]

nadal nie jestem przekonana, wiem że \(\displaystyle{ \Phi(x) \Rightarrow \bigvee_{x}: \Phi(x)}\) więc jak to się dzieje że mogę wstawić wyrażenie \(\displaystyle{ x \in X}\) pod kwantyfikator ogólny?

[scyth]

Bo zauważ, że indeksowanie po \(\displaystyle{ t}\) nie wpływa na \(\displaystyle{ x \in X}\).