przekształcenie otwarte
przekształcenie otwarte
Wykazać, że przekształcenie \(\displaystyle{ f : X \to Y}\)jest otwarte wtw gdy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subset Y}\), zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}(d(B)) \subset d(f^{-1}(B))}\) gdzie d() oznacza domknięcie. Prosze o pomoc...
-
lukip
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 sty 2014, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
przekształcenie otwarte
Zauważ, że jeśli dla każdego \(\displaystyle{ B \subset Y}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}(cl B) \subset cl(f^{-1}(B))}\) to odwzorowanie \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągłe.
W drugą stronę podobnie, zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte to \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągłe, co jest równoważne z warunkiem \(\displaystyle{ f^{-1}(cl B) \subset cl(f^{-1}(B))}\).
W drugą stronę podobnie, zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte to \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągłe, co jest równoważne z warunkiem \(\displaystyle{ f^{-1}(cl B) \subset cl(f^{-1}(B))}\).
-
lukip
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 sty 2014, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
przekształcenie otwarte
Zgoda, mój błąd. W takim razie dodaj sobie w założeniach, że \(\displaystyle{ f^{-1}}\) istnieje i po problemie. A tak na poważnie to jutro spróbuję podać właściwy dowód.
-
lukip
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 sty 2014, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
przekształcenie otwarte
Nie udało mi się rozwiązać, ale w Engelkingu znalazłem dla porównania zadanie "Przekształcenie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarte i dla każdego \(\displaystyle{ B \subset Y}\) zachodzi \(\displaystyle{ f^{-1}(cl(B))=cl(f^{-1}(B))}\)".
* on zakłada, że przekształcenie otwarte jest ciągłe
* on zakłada, że przekształcenie otwarte jest ciągłe
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10307
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2431 razy
przekształcenie otwarte
Dowód parę razy korzysta z faktu, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f: X \to Y}\) i zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) jest
\(\displaystyle{ f^{-1}[ B' ] = \big( f^{-1}[B{}] \big)'}\)
oraz dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest
\(\displaystyle{ \mathrm{int} \, C' = (\cl C)' \\
\cl C' = (\mathrm{int} \, C)'.}\)
\(\displaystyle{ (\implies)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte i weźmy dowolny \(\displaystyle{ x \in f^{-1} \left[ \cl B \right].}\) Wtedy \(\displaystyle{ f(x) \in \cl B.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x \in \cl f^{-1}[ B ] .}\)
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x \notin \cl f^{-1}[B{}] ,}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B{}] \big)' = \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big).}\) Wtedy \(\displaystyle{ f(x) \in f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right].}\)
Ponieważ odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte, więc zbiór \(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right]}\) jest otwarty i
\(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq f \left[ \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq B',}\)
zatem \(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq \mathrm{int} \, B'.}\) Stąd \(\displaystyle{ f(x) \in \mathrm{int} \, B',}\) czyli \(\displaystyle{ f(x) \notin \cl B.}\)
\(\displaystyle{ (\impliedby)}\)
Załóżmy, że
\(\displaystyle{ f^{-1}[ \cl B ] \subseteq \cl f^{-1}[{}B]}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte.
Weźmy dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f[{}U].}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, f[{}U],}\) a zatem \(\displaystyle{ f[U{}] = \mathrm{int} \, f[U{}],}\) czyli \(\displaystyle{ f[U{}]}\) jest otwarty.
Istnieje taki \(\displaystyle{ x \in U,}\) że \(\displaystyle{ y = f(x).}\) Niech \(\displaystyle{ B = f[{}U]'.}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ U \subseteq f^{-1}[ f[U{}] ]}\) i \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem otwartym, więc \(\displaystyle{ U \subseteq \mathrm{int} \, f^{-1}[ f[{}U] ],}\) zatem \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int} \, f^{-1}[ f[U{}] ].}\) Stąd \(\displaystyle{ x \notin \cl \big( f^{-1}[ f[U{}] ] \big)' = \cl \big( f^{-1}[ f[{}U]' ] \big) = \cl f^{-1}[B{}],}\) zatem na mocy założenia \(\displaystyle{ x \notin f^{-1}[ \cl B ].}\) Wówczas \(\displaystyle{ y \notin \cl B,}\) tzn. \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, B' = \mathrm{int} \, f[{}U].}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}[ B' ] = \big( f^{-1}[B{}] \big)'}\)
oraz dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest
\(\displaystyle{ \mathrm{int} \, C' = (\cl C)' \\
\cl C' = (\mathrm{int} \, C)'.}\)
\(\displaystyle{ (\implies)}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte i weźmy dowolny \(\displaystyle{ x \in f^{-1} \left[ \cl B \right].}\) Wtedy \(\displaystyle{ f(x) \in \cl B.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x \in \cl f^{-1}[ B ] .}\)
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x \notin \cl f^{-1}[B{}] ,}\) czyli \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B{}] \big)' = \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big).}\) Wtedy \(\displaystyle{ f(x) \in f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right].}\)
Ponieważ odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte, więc zbiór \(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right]}\) jest otwarty i
\(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq f \left[ \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq B',}\)
zatem \(\displaystyle{ f \left[ \mathrm{int} \, \big( f^{-1}[B'] \big) \right] \subseteq \mathrm{int} \, B'.}\) Stąd \(\displaystyle{ f(x) \in \mathrm{int} \, B',}\) czyli \(\displaystyle{ f(x) \notin \cl B.}\)
\(\displaystyle{ (\impliedby)}\)
Załóżmy, że
\(\displaystyle{ f^{-1}[ \cl B ] \subseteq \cl f^{-1}[{}B]}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest otwarte.
Weźmy dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ y \in f[{}U].}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, f[{}U],}\) a zatem \(\displaystyle{ f[U{}] = \mathrm{int} \, f[U{}],}\) czyli \(\displaystyle{ f[U{}]}\) jest otwarty.
Istnieje taki \(\displaystyle{ x \in U,}\) że \(\displaystyle{ y = f(x).}\) Niech \(\displaystyle{ B = f[{}U]'.}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ U \subseteq f^{-1}[ f[U{}] ]}\) i \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem otwartym, więc \(\displaystyle{ U \subseteq \mathrm{int} \, f^{-1}[ f[{}U] ],}\) zatem \(\displaystyle{ x \in \mathrm{int} \, f^{-1}[ f[U{}] ].}\) Stąd \(\displaystyle{ x \notin \cl \big( f^{-1}[ f[U{}] ] \big)' = \cl \big( f^{-1}[ f[{}U]' ] \big) = \cl f^{-1}[B{}],}\) zatem na mocy założenia \(\displaystyle{ x \notin f^{-1}[ \cl B ].}\) Wówczas \(\displaystyle{ y \notin \cl B,}\) tzn. \(\displaystyle{ y \in \mathrm{int} \, B' = \mathrm{int} \, f[{}U].}\)