Metoda przekątniowa, zbiór liczb rzeczywistych.

[syllwiaaa]

Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć jeszcze raz krok po kroku, najlepiej jak dla blondynki? Bo czytam to czytam i nadal nie rozumiem.

[Jan Kraszewski]

Po kolei. Czego nie rozumiesz?

JK

[FanOfMath]

ja nie rozumiem tego: "...Załóżmy, że jest równa n-tej liczbie – wtedy, w szczególności, powinna mieć na n-tym miejscu po przecinku taką samą cyfrę – dochodzimy więc do sprzeczności, ponieważ skonstruowaliśmy liczbę tak, że na n-tym miejscu ma inną cyfrę..."
skąd ten wniosek , że na \(\displaystyle{ n}\) 'tym miejscu po przecinku nasz nowo skonstruowana liczba ma inną cyfrę, skoro o liczbie \(\displaystyle{ n}\) nie mamy żadnych informacji..

[Ambu]

Z ciekawości.

Co gdybym był proszony o udowodnienie, że każdą liczbę rzeczywistą da się przedstawić w postaci w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego?

Niby oczywiste, ale nie wiem co bym napisał, a twierdzenia takiego na innych zajęciach nie było, więc nie mógłbym się nimi wspierać.

Ewentualnie, czy w dowodzie mógłbym zastąpić owe ułamki dziesiętne nieskończonymi ułamkami łańcuchowymi - jako ciągi (Mieliśmy twierdzenie bez dowodu, że każdą liczbę rzeczywistą da się w takiej postaci przedstawić // ciąg \(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3...)}\) tych całych reszt, czy czegoś)

[Jan Kraszewski]

skąd ten wniosek , że na \(\displaystyle{ n}\) 'tym miejscu po przecinku nasz nowo skonstruowana liczba ma inną cyfrę, skoro o liczbie \(\displaystyle{ n}\) nie mamy żadnych informacji..

Nowa liczbę konstruujesz tak, by od \(\displaystyle{ n}\)-tej liczby różniła się na \(\displaystyle{ n}\)-tym miejscu rozwinięcia dziesiętnego. Zatem ta wiedza wynika ze sposobu przeprowadzenia konstrukcji.

JK

[matmatmm]

Z ciekawości.

Co gdybym był proszony o udowodnienie, że każdą liczbę rzeczywistą da się przedstawić w postaci w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego?

Trzeba by ustalić liczbę \(\displaystyle{ xin[0,1)}\) i wskazać ciąg współczynników \(\displaystyle{ (a_{n})}\) taki, że \(\displaystyle{ a_{n}\in\{0,1,2,\ldots,9\}}\) dlla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{10^{n}}=x}\).

Ja bym próbował tak: \(\displaystyle{ a_{n}=\left([10^{n}x]\right)_{10}}\), gdzie \(\displaystyle{ []}\) to część całkowita, a \(\displaystyle{ ()_{10}}\), to reszta z dzielenia. Przyznaję jednak, że w tej chwili nie wiem jak udowodnić, że \(\displaystyle{ x}\) jest sumą tego szeregu. Pomoże ktoś?