Zbadaj zb. jedn.

[karl153]

\(\displaystyle{ f_n (x) = x^n, \quad f(x)= \begin{cases} 0 & x<1 \\ 1 & x=1 \end{cases}}\)
Sprawdzamy
\(\displaystyle{ \left| f_{n}(x)-f(x)\right|= \begin{cases} \left| x^{n}-0\right| & x<1 \\ 0 & x=1 \end{cases}}\)
Rozumiem, że dla \(\displaystyle{ x=1}\) \(\displaystyle{ f(x)=1}\) zaś \(\displaystyle{ f_{n}(x) \rightarrow 1}\) czyli \(\displaystyle{ 1-1=0}\), ale dlaczego tego samego nie zrobiliśmy wyżej wiemy, że \(\displaystyle{ f_{n}(x) \rightarrow 0}\) dla \(\displaystyle{ x<1}\) a \(\displaystyle{ f(x)=0}\) czyli było by \(\displaystyle{ 0-0=0}\) w jaki spoób została ułożona druga klamra ?

[a4karo]

Ta druga klamra to po prostu zapis funkcji \(\displaystyle{ h(x)=|f_n(x)-f(x)|}\). Żeby pokazać, że cięg \(\displaystyle{ f_n}\) dąży jednostajnie, musisz udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) znajdziesz takie \(\displaystyle{ N}\), że dla \(\displaystyle{ n>N}\) masz \(\displaystyle{ h(x)<\varepsilon}\). To ograniczenie musi byc niezależne of \(\displaystyle{ x}\) (tym się róźni zbieżność jednostajna od punktowej.

[karl153]

rozumiem o co chodzi w wykazywaniu zbieżności jednostajnej, ale nie wiem skąd taki zapis w drugiej klamrze. Dlaczego widnieje tam \(\displaystyle{ x^{n}}\)

[a4karo]

a co to jest \(\displaystyle{ f_n(x)}\) ?

[karl153]

Jest to ciąg funkcyjny. Moje pytanie, dlaczego nie ma go w \(\displaystyle{ *}\)
\(\displaystyle{ \left| f_{n}(x)-f(x)\right|= \begin{cases} \left| x^{n}-0\right|, x<1 \\ (*)~0, x=1 \end{cases}}\)

[a4karo]

BO dla \(\displaystyle{ x=1}\) wszystkie funkcje (łącznie z graniczną) sa równe \(\displaystyle{ 1}\)