Czy podany zbiór jest ciałem

[Nitka_]

Hej,
proszę o sprawdzenie mi zadania.
Mamy zbiór par liczbowych \(\displaystyle{ (a,b) \in Q \times Q}\). Nazwę go \(\displaystyle{ M}\). Zdefiniowane są działania:
\(\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}\)
\(\displaystyle{ (a,b) \cdot (c,d)=(ac+2bd, ad +bc)}\), wszystkie elementy \(\displaystyle{ a,b,c,d \in Q}\).

Chcę pokazać, że to ciało, czyli (na razie ogólnie za pomocą \(\displaystyle{ x,y,z}\) napiszę):
1) że \(\displaystyle{ (M,+)}\) to grupa abelowa:
- działanie ma być łączne: \(\displaystyle{ (x+y)+z=x+(y+z)}\)
- ma mieć element neutralny-jedynkę \(\displaystyle{ xe=ex=x}\) (istnieje \(\displaystyle{ e}\) to samo dla każdego \(\displaystyle{ x}\))
- każdy element ma element odwrotny \(\displaystyle{ xx^{-1}=x^{-1}x=e}\) (czyli każdy ma swój indywidualny)
- abelowa, więc \(\displaystyle{ x+y=y+x}\)

2) że \(\displaystyle{ (M, \cdot )}\) to półgrupa:
- działanie ma być łączne \(\displaystyle{ (xy)z=x(yz)}\)

3) oba te działania łączy prawo rozdzielności, czyli:
- \(\displaystyle{ (x+y)z = xz + yz}\)
- \(\displaystyle{ x(y+z) = xy + xz}\)


4) pierścień ma być z jedynką, tzn:
- \(\displaystyle{ (M, \cdot )}\) ma jedynkę, czyli \(\displaystyle{ xe'=e'x=e'}\) (jedno i to samo \(\displaystyle{ e'}\) dla każdego elementu)


5) oraz pierścień ma być przemienny, czyli pytanie, czy oba działanie przemienne? Pierwsze i tak musi być, więc chyba mam sprawdzić, czy \(\displaystyle{ x \cdot y = y \cdot x}\)?



6) ciało, więc każdy niezerowy element jest odwracalny, czyli:
- \(\displaystyle{ x \cdot y=e'}\) (każdy element ma swój własny element odwrotny).


I tutaj chciałabym spytać, czy na pewno wszystko tu ujęłam; czy coś jeszcze trzeba sprawdzić, a może coś jest niekonieczne; a może coś nieścisłe?


Jeśli ok, to:

1) łączność oczywista, tylko podstawiam, element neutralny \(\displaystyle{ e=(0,0)}\), element odwrotny do \(\displaystyle{ (a,b)}\) to \(\displaystyle{ (-a,-b)}\), abelowa, oczywiste.
2) łączność się zgadza
3) prawo rozdzielności się zgadza
4) tak, jest element neutralny-jedynka, postaci: \(\displaystyle{ e'=(1,0)}\). I tutaj pytanie, czy jest jakiś oczywisty sposób na obliczenie tego elementu, czy trzeba trochę 'pokombinować'
5) tak, przemienne
6) tak, istnieje, chcę znaleźć element odwrotny do \(\displaystyle{ (a,b)}\), który po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ (a,b)}\) da \(\displaystyle{ e'=(1,0)}\). Ten element to \(\displaystyle{ (\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}},\frac{-b^{2}}{a^{2}-b^{2}})}\). I znów pytanie, jakiś konkretny najszybszy sposób?



Będę wdzięczna za wskazówki dotyczące moich czterech pytań!

[niebieska_biedronka]

1. Jeśli pierścień ma być przemienny, to mamy na myśli przemienność drugiego działania. Tak jak napisałaś, pierwsze i tak musi być (w grupie abelowej).
2. Wypisałaś wszystkie warunki na ciało, jest OK.
3. niech element neutralny jest postaci \(\displaystyle{ e=(e_1, e_2)}\). Wtedy \(\displaystyle{ (a,b) \cdot (e_1,e_2)= (ae_1 + 2be_2, ae_2+be_1)=(a,b)}\). Stąd widać że \(\displaystyle{ e_1=1, e_2=0}\). Dla formalności należałoby także sprawdzić mnożenie \(\displaystyle{ (e_1,e_2) \cdot (a,b)}\)
4. Analogicznie - niech element odwrotny do \(\displaystyle{ (a,b)}\) będzie postaci \(\displaystyle{ (a^\prime, b^\prime)}\). Wtedy rozpisujemy z definicji działania \(\displaystyle{ (a,b) \cdot(a^\prime, b^\prime)}\) i porównujemy do otrzymanego elementu neutralnego. Z tego powinna już wyjść postać \(\displaystyle{ (a^\prime, b^\prime)}\).

[Nitka_]

Dziękuję bardzo
niebieska_biedronko

[norwimaj]

To ciało bywa oznaczane symbolem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\).

[Nitka_]

O proszę, a jednak znalazłam błąd, w podpunkcie czwartym ma być:

4) pierścień ma być z jedynką, tzn:
- \(\displaystyle{ (M, \cdot )}\) ma jedynkę, czyli \(\displaystyle{ xe'=e'x=x}\) (jedno i to samo \(\displaystyle{ e'}\) dla każdego elementu),
a nie jak poprzednio napisałam, po ostatnim \(\displaystyle{ =}\), że będzie to \(\displaystyle{ e'}\)

[niebieska_biedronka]

Racja. Niedopatrzenie

[Nitka_]

Mam problem z punktem szóstym.

Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) mam mieć \(\displaystyle{ y}\) że \(\displaystyle{ x \cdot y=e'}\).

\(\displaystyle{ (a,b) \cdot (a',b') = (1,0)}\)
Takie równanie muszę rozwiązać.
Rozwiązanie to: \(\displaystyle{ (a',b')=(\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}},\frac{-b^{2}}{a^{2}-b^{2}})}\), niestety odkryłam, że nie wiem, jak do niego dojść.
Proszę o pomoc

[norwimaj]

Na pewno takie ma być to rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \frac1{a+b\sqrt2}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2},}\)

czyli \(\displaystyle{ (a',b')=\left(\frac{a}{a^2-2b^2},\frac{-b}{a^2-2b^2}\right).}\)

[Nitka_]

Tak, masz rację,
już nawet źle to spisałam z odpowiedzi.
Nie rozumiem jednak, skąd to wziąłeś. Podejrzewam, że głupie pytanie, no ale po prostu nie mogę na to wpaść od dłuższego czasu!

[norwimaj]

Zbiór \(\displaystyle{ \left\{a+b\sqrt2:a\in\QQ,b\in\QQ\right\}}\) ze zwykłym działaniem dodawania i mnożenia jest podciałem ciała \(\displaystyle{ \RR}\), zatem jest ciałem. Trzeba tylko zauważyć, że to jest prawie ten sam zbiór, o który pytają w zadaniu.