Zliczanie - zadania tekstowe.

[Slay]

Prosiłbym o sprawdzenie moich rozwiązań poniższych zadań i pomoc w podpunktach na które pomysłu nie mam.

1. Koło studenckie liczy 20 członków, w tym 4 studentki i 5 studentów
specjalizujących się w grafach. Spośród członków należy wybrać zarząd, w skład
którego wejdą: prezes, v-ce prezes, skarbnik, bibliotekarz, administrator sieci studenckiej
i dwóch członków wspierających.

a) Na ile sposobów można wybrać zarząd, jeśli nie ma znaczenie, kto zajmie jakie
stanowisko?

\(\displaystyle{ {20 \choose 7}}\)

b) Na ile sposobów można wybrać zarząd, jeśli prezes i v-ce prezes maja być osobami
różnej płci oraz administratorem ma być jeden z 5 studentów specjalizujących się w
grafach?

\(\displaystyle{ {5 \choose 2} * {4 \choose 1}}\)

c) Koło co roku organizuje 2 wydarzenia - warsztaty dla młodych informatyków oraz
zawody w programowaniu. Na ile sposobów można rozłożyć obowiązki organizacji obu
wydarzeń zakładając, ze w każde wydarzenie ma być zaangażowanych co najmniej 2
członków zarządu oraz każdy członek zarządu zajmuje się tylko jednym z tych wydarzeń?

Brak pomysłu.

d) Koło co roku uzyskuje ze środków uczelnianych 30 000 zł, które ma przeznaczyć na
zakup sprzętu, wyposażenie biblioteki, przygotowanie warsztatów, organizacje zawodów
oraz działalność bieżąca koła. Jeśli na każdy z tych celów należy przeznaczyć co najmniej
4 000 zł, na ile sposobów można podzielić środki koła?

5 * 4000 = 20 000
30 000 - 20 000= 10 000

\(\displaystyle{ {5 + 10 000 - 1 \choose 10 000 - 1 }}\)

2. Bądzimir chce stworzyć siec komputerowa, w której adresami komputerów
będą słowa dziewięcioliterowe będące permutacjami nazwy jego rodzinnej miejscowości
„SZCZYRZYC”.

a) Ile rozróżnialnych adresów będzie można określić w tej sieci?

9!

b) Ile adresów będzie zawierało wszystkie występujące w nazwie miejscowości dwuznaki
(tj. ciągi dwuliterowe „SZ”, „CZ” oraz „RZ”)?

\(\displaystyle{ 9! - \frac{9!}{2! * 2! * 2!}}\)

c) Pierwsze trzy litery adresu będą decydować o przynależności niektórych adresów do
podsieci. Ile podsieci będzie mógł wyróżnić Maurycy, jeżeli w podsieci będą zebrane
tylko te adresy, których pierwsze trzy litery będą różne? Ile adresów nie będzie w żadnej
z podsieci?

9*8*7 ( liczba podsieci) - 6*5*4*3 * 2

[gogo_2]

1.
a)ok
b)brakuje jeszcze 4 członków
c)brakuje mi tu informacji ile osób w ogole ma być zaangażowanych w wydarzenie, ale przyjmijmu, ze wszyscy:
\(\displaystyle{ 2^{13} \left[ {7 \choose 2}+{7 \choose 3}+{7 \choose 4}+{7 \choose 5} \right]}\)
13 osób spoza zarządu wybiera sobie jedną z 2 imprez, a z zarządu wybieramy conajmniej 2 osoby do jednej z imprez , a reszta idzie do drugiej. Jakoś tak to będzie.
d)nie bardzo rozumiem co chciałeś przekazać tą kombinacją.

2.
a)no nie bardzo. Zauważ, że niektóre litery się powtarzają, wiec spora część permutacji z twojego rozwiązania będzie nierozróżnialna. Trzeba podzielić. Przez co?
b)a nie lepiej potraktować każdy dwuznak jako jeden element zbioru i dopiero permutować?

[Slay]

Dziękuję za pomoc.

1 b) Zatem \(\displaystyle{ {5 \choose 2} * {4 \choose 1} * {4 \choose 20}}\) ?

1 d) Koło co roku uzyskuje ze środków uczelnianych 30 000 zł, które ma przeznaczyć na
zakup sprzętu, wyposażenie biblioteki, przygotowanie warsztatów, organizacje zawodów
oraz działalność bieżąca koła. Jeśli na każdy z tych celów należy przeznaczyć co najmniej
000 zł, na ile sposobów można podzielić środki koła?
Korzystam z wzoru pudełkowego: \(\displaystyle{ {n + k - 1 \choose k - 1 }}\)

Mam 30 000 zł. na każdy cel mam wydać minimum 4000 zł, zatem od całej kwoty odejmuję minimum które muszę wydać i mam do rozdysponowania 10 000.

Traktuje moje pieniądze jako n nierozróżnialnych przedmiotów które umieszczę w k pudełkach ( przeznaczę na cele)

i tu poprawiam poprzedni błąd:

\(\displaystyle{ {10 000 + 5 - 1 \choose 5 - 1 }}\)

Czy to rozumowanie jest dobre?

2 a) Zatem \(\displaystyle{ \frac{9!}{3!*2!*2!}}\) ?

2 b) W takim razie: \(\displaystyle{ 9! - \frac{9!}{3!}}\) ?

Czy c jest poprawnie?

[gogo_2]

1 b) Nie pisz herezji. W \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) k nie może być większe od n.
Masz dobrać 4 osoby. Z grupy 20 osób po odjęciu tych specyficznych podgrupek, z których już wybrałeś 3 osoby zostało 11 osób i teraz z nich dobierasz te 4, czyli \(\displaystyle{ {11 \choose 4}}\)
1 d)Jeśli chciałeś korzystać z kombinacji z powtórzeniami to pierwsza wersja była dobra, ale to jednak nie tędy droga. Potraktuj każdą złotówkę(z tych pozostałych 10000) jako element, który możesz umieścić w jednym z 5 miejsc(tak jak to zrobiłem z osobami spoza zarządu w 1c)
2 a) tak
2 b)jeszcze raz. "SZ',"CZ","RZ" traktujesz jako jeden element czyli zostaje 6 elementów. Dodatkowo zostają dwa "Y" więc trzeba podzielić.

[Slay]

1 b) Nie pisz herezji. W \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) k nie może być większe od n.
Masz dobrać 4 osoby. Z grupy 20 osób po odjęciu tych specyficznych podgrupek, z których już wybrałeś 3 osoby zostało 11 osób i teraz z nich dobierasz te 4, czyli \(\displaystyle{ {11 \choose 4}}\)

Tutaj mój błąd z latexem, bo miało być \(\displaystyle{ {17 \choose 4}}\), bo założyłem, że reszta składu może być dowolna, w Twojej wersji jest, że pochodzi ona z osób spoza specyficznych muszą one pochodzić.

1 d)Jeśli chciałeś korzystać z kombinacji z powtórzeniami to pierwsza wersja była dobra, ale to jednak nie tędy droga. Potraktuj każdą złotówkę(z tych pozostałych 10000) jako element, który możesz umieścić w jednym z 5 miejsc

Czyli:
\(\displaystyle{ 10 000 ^{5}}\) ?

2 b)jeszcze raz. "SZ',"CZ","RZ" traktujesz jako jeden element czyli zostaje 6 elementów. Dodatkowo zostają dwa "Y" więc trzeba podzielić.

\(\displaystyle{ 9! - \frac{9!}{3!*2!}}\) ?

W miarę możliwości prosiłbym jeszcze o sprawdzenie jednego zadania ze zliczania:

3. Router jednego z pracowników uczelni - pana Dzierzykraja, uległ awarii i
wyświetla jedynie strony, których IP zawiera te same symbole, jakie występują w adresie
strony głównej uczelni: 95:9C:D0:03 (z ta sama krotnością każdego z nich).

a) Ile różnych stron może wyświetlić pan Dzierzykraj zakładając, ze każdemu adresowi
IP odpowiada jedna strona?

\(\displaystyle{ \frac{8!}{2!*2!}}\)

b) W ilu różnych adresach obie dziewiątki i oba zera będą stały obok siebie?

Rozmieszenie wszystkich z ww. liczb możemy wybrać na 8 * 7 * 6 * 5 sposobów.

liczba wszystkich adresów: \(\displaystyle{ \frac{8!}{2!*2!}}\)

czyli: \(\displaystyle{ \frac{8!}{2!*2!} - 8 * 7 * 6 * 5}\) ?

c) Ile różnych adresów można stworzyć zakładając, że każdy z symboli występujących w
adresie strony głównej uczelni może powtórzyć się dowolną liczbę razy?

\(\displaystyle{ 6^{8}}\), bo mamy 8 miejsc i na każdym z nich jest 6 możliwości wyboru symbolu (9 lub 5 lub C lub D lub 0 lub 3 ).

d) Awaria routera nasunęła panu Dzierzykrajowi następujący problem do rozwiązania: ile
różnych adresów internetowych (złożonych z dowolnych symboli szesnastkowych) spełnia
te własność, ze suma wszystkich symboli w adresie jest równa 1/3 sumy symboli występujących
w adresie uczelni, tj. B w zapisie szesnastkowym lub 11 w zapisie dziesiętnym?

Brak pomysłu.

[Majeskas]

1. b) Ja bym wybrał kobietę, potem stanowisko dla niej (prezes/wiceprezes), potem administratora. Wówczas zostałoby 15 facetów na drugie stanowisko prezesowskie, a następnie 4 stanowiska dla 17 osób. Mamy więc:

\(\displaystyle{ 4\cdot2\cdot5\cdot15\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14=34\,272\,000.}\)

1. c) Jest ok, pod warunkiem, że żadna osoba nie może zaangażować się w dwa wydarzenia naraz. Gdybyśmy uznali, że osoby spoza zarządu mogą wybrać dwa wydarzenia jednocześnie, mielibyśmy
\(\displaystyle{ 3^{13}\left( {7 \choose 2}+{7 \choose 3}+{7 \choose 4}+{7 \choose 5} \right)}\) możliwości, bowiem każdej osobie spoza zarządu dochodzi jeszcze jedna możliwość.

1. d)

Korzystam z wzoru pudełkowego: \(\displaystyle{ {n + k - 1 \choose k - 1 }}\)

Mam 30 000 zł. na każdy cel mam wydać minimum 4000 zł, zatem od całej kwoty odejmuję minimum które muszę wydać i mam do rozdysponowania 10 000.

Traktuje moje pieniądze jako n nierozróżnialnych przedmiotów które umieszczę w k pudełkach ( przeznaczę na cele)

i tu poprawiam poprzedni błąd:

\(\displaystyle{ {10 000 + 5 - 1 \choose 5 - 1 }}\)

Czy to rozumowanie jest dobre?

Tak.

1 d)Jeśli chciałeś korzystać z kombinacji z powtórzeniami to pierwsza wersja była dobra, ale to jednak nie tędy droga. Potraktuj każdą złotówkę(z tych pozostałych 10000) jako element, który możesz umieścić w jednym z 5 miejsc(tak jak to zrobiłem z osobami spoza zarządu w 1c)

Nie. Różnica polega na tym, że rozdzielanie osób do zadań to rozmieszczanie rozróżnialnych przedmiotów w rozróżnialnych szufladach, dlatego przy \(\displaystyle{ n}\) przedmiotach i \(\displaystyle{ k}\) szufladach ma \(\displaystyle{ k^n}\) rozwiązań. Natomiast rozdzielanie złotówek na cele to (jak słusznie stwierdził Slay) rozmieszczanie nierozróżnialnych przedmiotów w rozróżnialnych szufladach. Wówczas istotnie mamy \(\displaystyle{ {n + k - 1 \choose k - 1 }={n+k-1\choose n}}\) takich rozmieszczeń (w razie wątpliwości mogę uzasadnić ten wzór). Jeśli chodzi o liczbę kombinacji z powtórzeniami, to wzór wyprowadza się właśnie w oparciu o powyższy problem, ale wygląda on nieco inaczej: \(\displaystyle{ {n+k-1\choose k}}\).

2. b) Zliczamy wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ \left\{ SZ,CZ,RZ,Y,C\right\}}\), w których element \(\displaystyle{ Y}\) występuje dwa razy. Mamy tego \(\displaystyle{ \frac{6!}{2!}=360}\).

2. c) W wyrazie "SZCZYRZYC" występuje 5 różnych liter, więc na pierwsze miejsce adresu podsieci mamy 5 możliwości, na drugie 4, na trzecie 3. Podsieci jest więc \(\displaystyle{ 5\cdot4\cdot3=60}\).

Adresy, które nie będą w żadnej podsieci, to te, w których na pierwszych trzech miejscach któraś litera się powtarza. Nie widzę innej metody, jak rozważenie kilku przypadków.

1. Na pierwszych trzech pozycjach mamy tylko litery C i Y i któraś się powtarza. Na te miejsca mamy 6 możliwości. Zostaje 6 miejsc, na których wystąpi trzy razy Z, a każda z pozostałych liter: raz. To daje \(\displaystyle{ 6\cdot\frac{6!}{3!}=720}\).

2. Na pierwszych trzech pozycjach mamy C i dwa razy Z lub Y i dwa razy Z. Na te miejsca mamy 6 możliwości. Zostaje 6 miejsc, na których wystąpi dwa razy Y lub dwa razy C, a każda z pozostałych liter: raz. To daje \(\displaystyle{ 6\cdot\frac{6!}{2!}=2160}\).

3. Na pierwszych trzech pozycjach mamy Z i dwa razy C lub Z i dwa razy Y. Na te miejsca mamy 6 możliwości. Zostaje 6 miejsc, na których wystąpi dwa razy Z i dwa razy Y lub dwa razy Z i dwa razy C, a każda z pozostałych liter: raz. To daje \(\displaystyle{ 6\cdot\frac{6!}{2!\cdot2!}=1080}\).

4. Na pierwszych trzech pozycjach mamy trzy razy Z. Na pozostałych 6 miejscach wystąpi dwa razy C i dwa razy Y, a reszta raz. To daje \(\displaystyle{ \frac{6!}{2!\cdot2!}=180}\).

Razem mamy \(\displaystyle{ 4140}\) adresów.

3. a) Ok.

3. b) Nie ok. Nie rozumiem Twoich metod liczenia "od drugiej strony", tzn. odejmowania "złych" przypadków od wszystkich. Nie rozumiem, w jaki sposób liczysz te "złe", ale robisz to źle. Patrz na zadanie 2. b). To jest analog.

3. c) Ok.

3. d) \(\displaystyle{ \frac13(9+5+9+12+13+3)=17}\). To jaka w końcu ma być ta suma cyfr?