Trudne, krótkie równanie cyklometryczne -przekształcenie.

[wojtert]

Witam,
Ciekawi mnie jak rozwiązać to równanie:

\(\displaystyle{ x - \arctg x =0}\)

Równanie sam wymyśliłem, przepisując z błędem z tablicy
WolframAlpha podaje jedynie rozwiązanie przybliżone.
\(\displaystyle{ x \in \left\{ 0 ; \pm 2,33112\right\}}\)

Czy możliwe jest, aby tego równania nie można było policzyć na karce, tylko konieczne są do tego komputery podstawiające po kolei liczby

Proszę o pomoc -- 1 lut 2014, o 22:25 --I co nikt nie nakieruje mnie jak zrobić to zadanko?

[Seth Briars]

Ponieważ \(\displaystyle{ |\arctg (x)|<\frac{\pi}{2}}\) więc konieczne jest aby \(\displaystyle{ |x|<\frac{\pi}{2}}\). Dla takich \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ x - \arctg x =0 \Leftrightarrow \tan(x)=x}\). Jeśli \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ x<\tan(x)}\), skąd \(\displaystyle{ -x>\tan(-x)}\) ze względu na nieparzystość tangensa, a dla \(\displaystyle{ x=0}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \tan(x)=x}\). Wynika stąd, że jedyną liczbą, która spełnia to równanie jest \(\displaystyle{ 0}\).

[wojtert]

Ponieważ \(\displaystyle{ |\arctg (x)|<\frac{\pi}{2}}\) więc konieczne jest aby \(\displaystyle{ |x|<\frac{\pi}{2}}\).

Nie prawda \(\displaystyle{ \arctg (x)}\) jest określony dla \(\displaystyle{ x \in R}\)

[Seth Briars]

Nie o to chodzi. Chodzi o to że aby było spełnione równanie \(\displaystyle{ x - \arctg x =0}\), musi być \(\displaystyle{ |x|<\frac{\pi}{2}}\) wobec \(\displaystyle{ |\arctg (x)|<\frac{\pi}{2}}\) - po prostu to uczynione założenie ma związek nie z dziedziną \(\displaystyle{ \arctan}\), lecz z Twoim równaniem.

[wojtert]

Ale liczba \(\displaystyle{ 2,3312}\) też spełnia to równanie

[Seth Briars]

Liczba \(\displaystyle{ 2,3312}\) nie spełnia równania \(\displaystyle{ x - \arctg x =0}\) gdyż \(\displaystyle{ \arctan(x)<2,3312}\).

[wujomaro]

wojtert, w linku który podałeś wprowadziłeś złe równanie.
Tam wprowadziłeś równanie:
\(\displaystyle{ x=2 \arctan x}\)
Pozdrawiam!

[wojtert]

Dziękuję za pomoc, rzeczywiście, przepraszam za błąd.

PS A jakby ktoś był tak miły i powiedział jak rozwiązać to: \(\displaystyle{ x=2 \arctan x}\)
Z góry dziękuję

[Dilectus]

.

[wojtert]

A teraz wam zabiłem klina, nie -- 3 lut 2014, o 18:00 --Ta sobie myślę, a gdyby porównać ich pochodne ?

[Majeskas]

Tego równania nie rozwiąże się algebraicznie. Możemy jedynie zadowolić się szukaniem rozwiązań przybliżonych, tak jak komputery. (Nawiązując do Twojego pierwszego posta, one raczej nie "podstawiają po kolei liczb", tylko też stosują algorytmy szukania przybliżonych rozwiązań).