Dowód implikacji - zbiory

[Lewo]

Chciałbym wiedzieć jak by wyglądał szkic dowodu tego przykładu:
\(\displaystyle{ \left( A \subseteq C\right) \wedge \left( B \subseteq C\right) \rightarrow A \cup B \subseteq C}\)
Przy założeniu poprzednika tej implikacji nie wiem jak zabrać się za tezę.
Przy metodzie \(\displaystyle{ x \in A \cup B}\) nie chce mi nic wyjść

edit: dobrym pomysłem byłoby tam gdzie się zacinam zapisać \(\displaystyle{ x \in A}\) jako zmienną zdaniową, przepisać to na rachunek zdań i np tabelką udowodnić?

[Edward W]

\(\displaystyle{ x\in A\cup B\iff x\in A\vee x\in B}\). Teraz z definicji zawierania sprawdzamy, co się dzieje z tą alternatywą w związku z naszymi założeniami (z poprzednika implikacji).

[Jan Kraszewski]

edit: dobrym pomysłem byłoby tam gdzie się zacinam zapisać \(\displaystyle{ x \in A}\) jako zmienną zdaniową, przepisać to na rachunek zdań i np tabelką udowodnić?

Fatalnym.

JK

[Lewo]

rozpisze z def. zawierania ale i tak nie mam jak porównać bo do założeń nie mam za bardzo jak porównać. bo w zalozeniu musialbym chyba napisac \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ x \in B}\) jednoczenie a w tezie zacząłem od \(\displaystyle{ x \in A}\) lub \(\displaystyle{ x \in B}\)

[Jan Kraszewski]

Pozostajesz na poziomie formalnego manipulowania znaczkami, a to nie o to chodzi. Dowód to nie żonglerka znaczkami, tylko czytelny i precyzyjny zapis rozumowania, które przeprowadzasz, by uzasadnic prawdziwość tezy.

Chcesz udowodnić zawieranie \(\displaystyle{ A\cup B \subseteq C}\). W tym celu ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x\in A\cup B.}\) Z definicji sumy wiesz, że \(\displaystyle{ x\in A}\) lub \(\displaystyle{ x\in B}\). Jeżeli \(\displaystyle{ x\in A}\), to z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq C}\) wnioskujesz (z def. zawierania), że \(\displaystyle{ x\in C}\), co chciałeś pokazać. Jeżeli \(\displaystyle{ x\in B}\), to postępujesz analogicznie, korzystając z założenia \(\displaystyle{ B \subseteq C}\). Wobec tego na mocy def. zawierania teza jest prawdziwa.

JK

[Lewo]

Właśnie dla mnie to logiczne ze jak każdy z osobna się zawiera to suma się zawiera. Nie wiedziałem ze przy korzystaniu z założenia mogę rozdzielić na dwa przypadki \(\displaystyle{ x \in A}\) lub\(\displaystyle{ x \in B}\), bo dla mnie założenie wygląda tak, że jeśli \(\displaystyle{ x \in A}\) to od razu zachodzi drugi przypadek gdy \(\displaystyle{ x \in B}\) a przy udowadnianiu tezy rozdzielam te przypadki i powołuje się na założenie tak na każdą część koniunkcji z osobna

[Jan Kraszewski]

bo dla mnie założenie wygląda tak, że jeśli \(\displaystyle{ x \in A}\) to od razu zachodzi drugi przypadek gdy \(\displaystyle{ x \in B}\)

Nie bardzo rozumiem. W założeniu nie masz żadnego \(\displaystyle{ x}\). Tam są zawierania, czyli w szczególności wyrażenia z kwantyfikatorami ogólnymi. I właśnie dlatego nie możesz bezrefleksyjnie tego przekształcać.

JK