Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym?
- tkrass
- Użytkownik
- Posty: 1464
- Rejestracja: 21 lut 2008, o 13:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Cambridge / Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 186 razy
Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym?
Korzystając z tego twierdzenia, mam wykazać, że wielomian \(\displaystyle{ z^4-z^3+8z^2+11z+1}\) ma pierwiastek zespolony spełniający \(\displaystyle{ |z| \le 1}\). W oczywisty sposób widzę, jak zrobić to bez Brouwera, ale interesuje mnie jak użyć konkretnie tego twierdzenia w tym przypadku.
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym?
\(\displaystyle{ f(z) = z^4 - z^3 +8z^2 + 12z + 1}\), mamy pokazać, że istnieje punkt stały \(\displaystyle{ f(z)=z}\) - próbowałbym pokazać, że tak określone odwzorowanie przekształca \(\displaystyle{ D(0,1)}\) w \(\displaystyle{ D(0,1)}\), wówczas mielibyśmy szukany punkt stały leżący w kuli domkniętej \(\displaystyle{ D(0,1)}\), ale tego niestety nie widzę
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10228
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym?
Można przekształcić inaczej:
\(\displaystyle{ -\frac{z^4-z^3+8z^2+1}{11} = z.}\)
Funkcja
\(\displaystyle{ f(z) = -\frac{z^4-z^3+8z^2+1}{11}}\)
przekształca już koło \(\displaystyle{ |z| \le 1}\) w siebie (i jest ciągła), więc można zastosować twierdzenie Brouwera.
\(\displaystyle{ -\frac{z^4-z^3+8z^2+1}{11} = z.}\)
Funkcja
\(\displaystyle{ f(z) = -\frac{z^4-z^3+8z^2+1}{11}}\)
przekształca już koło \(\displaystyle{ |z| \le 1}\) w siebie (i jest ciągła), więc można zastosować twierdzenie Brouwera.