Wyraz ogólny, wyrazy ciągu, suma liczb naturalnych...

[x0wnedx]

Witam,
borykam się z zadaniami które wiem jak rozwiązać, ale niezupełnie...

Zadanie 1
Które wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_n= \frac{n-5}{4n+2}}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ \frac{5}{31}}\) ?

Robię to sposobem, którym przy innych liczbach wyszedł normalny (całkowity) wynik.
A więc:

\(\displaystyle{ \frac{n-5}{4n+2} < \frac{5}{31} / \cdot (4n+2)}\)
\(\displaystyle{ n-5 < \frac{5}{31}(4n+2)}\)
\(\displaystyle{ n-5 < \frac{20}{31}n + \frac{10}{31}}\)

i co teraz?? Mnożąc obustronnie, dwukrotnie razy \(\displaystyle{ 31}\) otrzymuję:

\(\displaystyle{ 941n < 4815}\)

Nie mam pojęcia co jest źle.


Zadanie 2
Sprawdź, czy istnieją wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (b_n)}\) o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ b_n= n^{3} - 6n^{2} -9n}\) które są równe \(\displaystyle{ -54}\).

Cóż mogę rzec. Z podstawienia i rozkładu na czynniki wychodzi że
\(\displaystyle{ n=3}\) lub \(\displaystyle{ n= -3}\) lub \(\displaystyle{ n=6}\)

Czy odpowiedź \(\displaystyle{ b_3= -54}\) oraz \(\displaystyle{ b_6= -54}\) jest prawidłowa, czy gdzieś zrobiłem błąd albo należy podać inną odpowiedź (jeśli tak to jaką?)



Zadanie 3
Oblicz sumę liczb naturalnych dwucyfrowych które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3.

[mortan517]

Pierwsze - po prostu musisz wyznaczyć liczby naturalne spełniające tą nierówność.

Drugie dobrze

Trzecie
przykład: \(\displaystyle{ 38 = 7 \cdot 5 + 3}\)

EDIT: pierwsze źle.

[chris_f]

W pierwszym doszedłeś do postaci
\(\displaystyle{ n-5 < \frac{20}{31}n + \frac{10}{31}}\)
Nie wiem dlaczego mnożysz dwukrotnie przez \(\displaystyle{ 31}\), skoro wystarczy raz
\(\displaystyle{ 31n-155<20n+10}\)
\(\displaystyle{ 11n<165}\)
\(\displaystyle{ n<\frac{165}{11}}\)
No i teraz udziel odpowiedzi na pytanie, dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) jest to równość prawdziwa.

W drugim masz dobrze.

W trzecim - liczba naturalna dająca przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 7}\) resztę \(\displaystyle{ 3}\) ma postać \(\displaystyle{ 7k+3}\). Ciebie interesują liczby dwucyfrowe, a zatem będą to liczby
\(\displaystyle{ 10,17,24,...,94}\)
Masz policzyć ich sumę. Zauważ, że tworzą ciąg arytmetyczny, a sumę wyrazów takiego ciągu łatwo policzyć.

PS. Nie rób nigdy takich numerów jak usuwanie części swojego postu lub jego edycję, kiedy ktoś już zdążył odpowiedzieć. Człowiek wychodzi wtedy na idiotę i możesz mieć pewność, że następnym razem nie uzyskasz pomocy.

[x0wnedx]

Dzięki za odpowiedź.

W pierwszym odpowiedzią będzie wykres, prawda?
Czyli \(\displaystyle{ (- \infty ; \frac{165}{11} )}\)

Przepraszam za zamieszanie z zadaniem 3. Chwilę po tym jak zamieściłem temat oświeciło mnie. Nie sądziłem że ktoś tak szybko odpowie Pytanie wklejam ponownie żeby było wiadomo o co chodzi.

[mortan517]

Odpowiedzią będzie wykres? Co najmniej dziwne sformułowanie.

Rozwiązaniem może być przedział co najwyżej, ale w tym wypadku tak nie będzie. Jakie warunki spełnia \(\displaystyle{ n}\)?

[x0wnedx]

\(\displaystyle{ n < \frac{165}{11}}\)
\(\displaystyle{ n \in N+}\)

\(\displaystyle{ n \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }}\)


Takiego zapisu mnie uczyli. W końcu dokopałem się do notatek Mam nadzieje że to jest dobrze.

Mam jednakże kolejne pytanie. Jaka powinna być odpowiedź jeśli przykładowo \(\displaystyle{ n > 20}\) ??
W tym wypadku moja wiedza się kończy i nie mogę niczego sensownego wymyślić.

[mortan517]

Dobrze.

A o co chodzi w drugim pytaniu? Chodzi o to, że masz jednocześnie \(\displaystyle{ 2}\) warunki?

\(\displaystyle{ \begin{cases} n<15 \\ n>20 \end{cases}}\)

[x0wnedx]

Nie nie. Chodzi o takie samo zadanie z innymi danymi, z których wychodzi \(\displaystyle{ n > 20}\). I teraz pytanie jaka powinna być odpowiedź. Nie mogę sobie z tym poradzić : / Pierwsza i ostatnia myśl to
\(\displaystyle{ n \in (20; \infty )}\) ale to pewnie jest źle.

[mortan517]

Według twojej odpowiedzi liczba \(\displaystyle{ 21,765827263623}\) spełniałaby założenie, a czy jest naturalna?

[x0wnedx]

eem chyba mam!

\(\displaystyle{ n > 20}\)
\(\displaystyle{ n \in N+}\)
\(\displaystyle{ n \in 21, 22, 23, 24, ... ,}\)

O to chodzi?

[mortan517]

Taak, ale wystarczy jak zapiszesz w odpowiedzi \(\displaystyle{ 2}\) warunki

\(\displaystyle{ \begin{cases} n \in (20; + \infty ) \\ n \in \mathbb{N} \end{cases}}\)

[chris_f]

Odpowiedź powinna brzmieć następująco:
Wyrazami ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) spełniającymi warunek \(\displaystyle{ a_n<\frac{5}{31}}\) są wyrazy \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_{14}}\).
Albo możesz to sformułować: wyrazy o numerach \(\displaystyle{ 1,2,...,14}\).
W ten sposób nie masz problemu gdyby okazało się, że takich wyrazów jest np. \(\displaystyle{ 257}\). Wtedy napisałbyś, ze chodzi o wyrazy o numerach \(\displaystyle{ 1,2,...,257}\). Itp., jeżeli elementów spełniających dane warunki jest dużo to nie wypisujemy ich wszystkich.