zbadać poprawność rozumowań

[FanOfMath]

Witam , mam problem z przykładami z tautologii pisanymi w języku polskim i przekładania to na język matematyczny.Problem z odróżnieniem prawdziwości przesłanek od prawidłowego rozumowania(wynika z tego , że z prawidłowego rozumowania możemy nabywać nieprawdziwych wiadomości , trochę mnie to przeraża heh)
Przykłady i zadania ( z książki Jana Kraszewskiego "wstęp do matematyki") :

Jeśli , \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{2} + 4x + 4 = 4 - x}\) , więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\) . Zatem liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\)

Jeśli teraz przyjmiemy oznaczenia \(\displaystyle{ p = (x + 2 = \sqrt{4-x})}\) , \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) , to widzimy , że nasze rozumowanie ma postać \(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow p)}\)

Wcale nie widzę tego rozumowania , tzn. poprzednik implikacji mi się zgadza , ale skąd to \(\displaystyle{ (q \Rightarrow p)}\) ?

Skoro przyjeliśmy , że \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) , a to nie to samo co "liczby 0 i 5" ?


kolejny przykład:
O pewnej liczbie naturalnej n zakładamy, że :
- \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) oraz
-jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) , to \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)

Czy stąd wynika że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 12}\)?

rozumiem ,że rozpisujemy to tak:
\(\displaystyle{ ((4|n) \wedge (2|n \Rightarrow 3|n))\Rightarrow 12|n)}\)

A z tego wynika
\(\displaystyle{ (a \wedge (a \Rightarrow b))\Rightarrow b)}\)

I faktycznie jest to tautologia, z tego wynika , że treść zadania jest ważna bo inaczej gdybym nie znał zasad podzielności zapisałbym to tak :
\(\displaystyle{ (a \wedge (b \Rightarrow c))\Rightarrow d)}\)

[Jan Kraszewski]

Witam , mam problem z przykładami z tautologii pisanymi w języku polskim i przekładania to na język matematyczny.Problem z odróżnieniem prawdziwości przesłanek od prawidłowego rozumowania(wynika z tego , że z prawidłowego rozumowania możemy nabywać nieprawdziwych wiadomości , trochę mnie to przeraża heh)
Przykłady i zadania ( z książki Jana Kraszewskiego "wstęp do matematyki") :

Jeśli , \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{2} + 4x + 4 = 4 - x}\) , więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\) . Zatem liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\)

Jeśli teraz przyjmiemy oznaczenia \(\displaystyle{ p = (x + 2 = \sqrt{4-x})}\) , \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) , to widzimy , że nasze rozumowanie ma postać \(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow p)}\)

Wcale nie widzę tego rozumowania , tzn. poprzednik implikacji mi się zgadza , ale skąd to \(\displaystyle{ (q \Rightarrow p)}\) ?

Skoro przyjeliśmy , że \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) , a to nie to samo co "liczby 0 i 5" ?

To to samo co "liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania".

kolejny przykład:
O pewnej liczbie naturalnej n zakładamy, że :
- \(\displaystyle{ n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\) oraz
-jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\) , to \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)

Czy stąd wynika że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 12}\)?

rozumiem ,że rozpisujemy to tak:
\(\displaystyle{ ((4|n) \wedge (2|n \Rightarrow 3|n))\Rightarrow 12|n)}\)

A z tego wynika
\(\displaystyle{ (a \wedge (a \Rightarrow b))\Rightarrow b)}\)

Nie wynika, to nieuprawniony skrót myślowy.

I faktycznie jest to tautologia, z tego wynika , że treść zadania jest ważna bo inaczej gdybym nie znał zasad podzielności zapisałbym to tak :
\(\displaystyle{ (a \wedge (b \Rightarrow c))\Rightarrow d)}\)

Rozumowania matematyczne nie polegają na sprowadzaniu sytuacji do schematów logicznych. Twoje podejście do rozwiązania tego zadania jest niedobre. Dowód ma polegać na czytelnym i precyzyjnym opisaniu pewnego toku myślowego, a nie na żonglerce znaczkami i schematami logicznymi.

Ten dowód powinien wyglądać tak:
Z założenia, że liczba \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) wynika, że jest ona w szczególności parzysta (przy BARDZO dokładnym dowodzie trzeba to uzasadnić - takie dowody robi się czasem, by studenci uświadomili sobie, że każdy krok w rozumowaniu musi mieć swoje uzasadnienie). Wobec tego z założenia drugiego wynika, że \(\displaystyle{ n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Skoro \(\displaystyle{ 3|n}\) i \(\displaystyle{ 4|n}\), to \(\displaystyle{ 12|n}\) (co też może wymagać krótkiego uzasadnienia), co należało dowieść.

JK

[FanOfMath]

dziękuję , wiele można się od Pana nauczyć.

Witam , mam problem z przykładami z tautologii pisanymi w języku polskim i przekładania to na język matematyczny.Problem z odróżnieniem prawdziwości przesłanek od prawidłowego rozumowania(wynika z tego , że z prawidłowego rozumowania możemy nabywać nieprawdziwych wiadomości , trochę mnie to przeraża heh)
Przykłady i zadania ( z książki Jana Kraszewskiego "wstęp do matematyki") :

Jeśli , \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{2} + 4x + 4 = 4 - x}\) , więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\) . Zatem liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\)

Jeśli teraz przyjmiemy oznaczenia \(\displaystyle{ p = (x + 2 = \sqrt{4-x})}\) , \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) , to widzimy , że nasze rozumowanie ma postać \(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) \Rightarrow (q \Rightarrow p)}\)

Wcale nie widzę tego rozumowania , tzn. poprzednik implikacji mi się zgadza , ale skąd to \(\displaystyle{ (q \Rightarrow p)}\) ?

Skoro przyjeliśmy , że \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) , a to nie to samo co "liczby 0 i 5" ?

To to samo co "liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania".

JK

Niestety mam jeszcze mały problem z tym przykładem, czy wyrażenie: "są rozwiązaniami równania" znaczy w sensie logicznym implikacje?

gdyby było zapisane: "liczby \(\displaystyle{ -5}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania" , wtedy by mi to pasowało , mógłby Pan lub ktoś inny wytłumaczyć dlaczego tam jest w wyrażeniu "i" zamiast "lub" skoro za q przyjeliśmy \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) ?
Domyślam się , że to "i" nie ma nic wspólnego z naszym lub w zdaniu ze znaczkami i symbolami logicznymi,ale nie wiem dlaczego..

zamieńmy treść na taką :
Jeśli ,\(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{2} + 4x + 4 = 4 - x}\), więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\) . Zatem liczba \(\displaystyle{ -5}\) LUB \(\displaystyle{ 0}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\)

wtedy wg mnie zdanie wyglądało by to tak:
\(\displaystyle{ (p \Rightarrow q \vee r ) \Rightarrow ((p \Rightarrow q) \vee (p \Rightarrow r))}\)

Zdanie powyżej jest tautologią , niestety nie wiem czy dobrze zapisaną.

[Jan Kraszewski]

gdyby było zapisane: "liczby \(\displaystyle{ -5}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania" , wtedy by mi to pasowało , mógłby Pan lub ktoś inny wytłumaczyć dlaczego tam jest w wyrażeniu "i" zamiast "lub" skoro za q przyjeliśmy \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) ?

Proszę bardzo.
Myślę, że mniej Twoich wątpliwości będzie budziło zdanie "\(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) i \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\)". To zdanie formalizujemy

\(\displaystyle{ \left( x=0 \Rightarrow x + 2 = \sqrt{4-x}\right) \land \left( x=5 \Rightarrow x + 2 = \sqrt{4-x}\right).}\)

Teraz korzystamy z tautologii \(\displaystyle{ (p \Rightarrow r)\land(q \Rightarrow r) \Leftrightarrow (p\lor q \Rightarrow r)}\) i dostajemy zdanie, które Cię niepokoiło.

zamieńmy treść na taką :
Jeśli ,\(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{2} + 4x + 4 = 4 - x}\), więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\) . Zatem liczba \(\displaystyle{ -5}\) LUB \(\displaystyle{ 0}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\)

wtedy wg mnie zdanie wyglądałoby to tak:
\(\displaystyle{ (p \Rightarrow q \vee r ) \Rightarrow ((p \Rightarrow q) \vee (p \Rightarrow r))}\)

A czym według Ciebie są \(\displaystyle{ p,q,r}\)?

JK

[FanOfMath]

gdyby było zapisane: "liczby \(\displaystyle{ -5}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania" , wtedy by mi to pasowało , mógłby Pan lub ktoś inny wytłumaczyć dlaczego tam jest w wyrażeniu "i" zamiast "lub" skoro za q przyjeliśmy \(\displaystyle{ q = (x = -5 \vee x=0)}\) ?

Proszę bardzo.
Myślę, że mniej Twoich wątpliwości będzie budziło zdanie "\(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) i \(\displaystyle{ 5}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\)". To zdanie formalizujemy

\(\displaystyle{ \left( x=0 \Rightarrow x + 2 = \sqrt{4-x}\right) \land \left( x=5 \Rightarrow x + 2 = \sqrt{4-x}\right).}\)

Teraz korzystamy z tautologii \(\displaystyle{ (p \Rightarrow r)\land(q \Rightarrow r) \Leftrightarrow (p\lor q \Rightarrow r)}\) i dostajemy zdanie, które Cię niepokoiło.
JK

Teraz już widzę , wygląda na to, że źle zinterpretowałem to zdanie:
"Jeśli , \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4-x}}\) , to \(\displaystyle{ x ^{2} + 4x + 4 = 4 - x}\) , więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x=0}\)" (przyjmując Pana oznaczenia p , q i r , w nawiasie pisałem jak interpretowałem wyrazy w zdaniu)
\(\displaystyle{ r}\)("jeśli" , czyli jeśli r jest prawdą) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)("więc" ,czyli: więc z tego wynika)\(\displaystyle{ p \vee q}\)(\(\displaystyle{ x=5}\) lub \(\displaystyle{ x=-5}\))