Obliczenie sumy metodą zaburzania

[Szymon1993]

Prosiłbym o pomoc w obliczeniu tych sum. Za pomoc z góry dziękuję.

Mam do obliczenia metodą zaburzania sumę \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n - k}}\). Wiem, że zgodnie z prawem przemienności mogę napisać \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{k}}\). W taki sposób potrafię obliczyć tę sumę. Ale ponieważ mam do obliczenia jeszcze inne przykłady, gdzie tego prawa nie potrafię zastosować, chciałbym ten przykład rozwiązać bez zamiany \(\displaystyle{ n - k}\) na \(\displaystyle{ k}\).

Piszę więc:

\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n - k}}\)

Wydzielam zerowy wyraz poza sumę:
\(\displaystyle{ S_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1} (-1)^{n + 1 - k} = (-1)^{n + 1} + \sum_{k = 1}^{n + 1} (-1)^{n + 1 - k}}\)

Zmieniam granice sumowania:
\(\displaystyle{ S_{n + 1} = (-1)^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n + 1 - (k + 1)} = (-1)^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n - k}}\)

Jeśli dobrze myślę to ostatni wyraz zawsze jest równy \(\displaystyle{ 1}\) czyli \(\displaystyle{ S_{n + 1} = S_{n} + 1}\).

I tutaj dochodzę do momentu, w którym nie wiem co zrobić dalej ponieważ:
\(\displaystyle{ S_{n} + 1 = (-1)^{n + 1} + \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n - k}}\)

czyli

\(\displaystyle{ S_{n} + 1 = (-1)^{n + 1} + S_{n}}\)

Po obydwu stronach tego równania \(\displaystyle{ S_{n}}\) ma ten sam znak więc nie mogę go przenieść. Co w takim razie należy zrobić?

-----------------------------------------------------------

I jeszcze drugi przykład:

\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n - k}k}\)

Piszę:

\(\displaystyle{ S_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n + 1}(-1)^{n + 1 - k}k = 0 + \sum_{k = 1}^{n + 1}(-1)^{n + 1 - k}k}\)

Zmieniam granice sumowania:
\(\displaystyle{ S_{n + 1} = \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n + 1 - (k + 1)}(k+1) = \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n - k}(k+1)}\)

Nie wiem jak poradzić sobie z tym \(\displaystyle{ k + 1}\).

[Qń]

\(\displaystyle{ S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n - k}}\)
\(\displaystyle{ S_{n + 1} = S_{n} + 1}\).

Ta druga równość jest nieprawdziwa, powinno być:
\(\displaystyle{ S_{n+1}=-S_n+1}\)

Jak dokończysz ten przykład, to w drugim przykładzie należy skorzystać z wyniku z pierwszego, rozbijając sumę o którą pytasz na dwie sumy.

Być może przyda Ci się do czegoś też wątek:
258562.htm
(Twoją drugą sumę liczy się podobnie jak \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^nk2^k}\), która policzona jest w rzeczonym wątku).

Q.

[Szymon1993]

A z czego wynika to, że \(\displaystyle{ S_{n+1} = - S_{n} + 1}\)?

[Qń]

\(\displaystyle{ S_{n+1} = \sum_{k = 0}^{n+1} (-1)^{n +1- k} =1+ \sum_{k = 0}^{n} (-1)^{n +1- k}=1+ \sum_{k = 0}^{n}(-1)\cdot (-1)^{n - k}= \ldots}\)

Q.

[Szymon1993]

Teraz widzę. Dziękuję!