nieograniczona funkcja ciągła

[tkrass]

\(\displaystyle{ X}\) jest niezwartym podzbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Pokazać, ze istnieje ciągła nieograniczona funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathbb{R}}\).

[norwimaj]

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest nieograniczony, to wystarczy funkcja, która punktowi przypisuje jego odległość od zera.

W przeciwnym wypadku istnieje ciąg \(\displaystyle{ y_n}\) punktów z \(\displaystyle{ X}\), zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ y\not\in X}\). Wtedy niech

\(\displaystyle{ f(x)=\frac1{\|x-y\|}.}\)