Cześć, wszystkim,
musze zbadac czy ponizszy ciag okreslony rekurencyjnie jest zbiezny, jesli tak to jaka posiada granice..
czy moglby ktos mi pomoc, wytlumaczyc dokladnie ogranicznosc?
Bo zeby ciag byl zbiezny musi byc monotoniczny i ograniczony.
\(\displaystyle{ x_0=3\\
\\
x_{n+1}= \frac{(x_n)^2+2}{x_n +1}}\)
ciag rekurencyjny, okropny
-
mmttdd
- Użytkownik
- Posty: 113
- Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 20 razy
ciag rekurencyjny, okropny
Łatwo można dowieść, że \(\displaystyle{ x_{n}>0}\). W kilku miejscach będziemy musieli pomnożyć nierówność stronami przez \(\displaystyle{ x_{n}}\), albo podzielić przez \(\displaystyle{ x_{n}+1}\), dla \(\displaystyle{ x_{n}>0}\) możemy to zrobić i nie zmieni to znaku nierówności.
Udowodnimy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ x_{n}>2}\)
\(\displaystyle{ x_{0}=3>2}\)
założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ x_{n}>2}\)
\(\displaystyle{ (x_{n}) ^{2} >2x_{n} \\ (x_{n}) ^{2}+2 >2x_{n}+2=2\left(x_{n}+1 \right) \\ \frac{ (x_{n}) ^{2}+2}{x_{n}+1}>2 \\ x_{n+1}>2}\)
zatem ciąg jest ograniczony z dołu.
Teraz korzystając z udowodnionej nierówności dowiedziemy, że ciąg jest malejący:
\(\displaystyle{ x_{n}>2 \\ x_{n}+(x_{n}) ^{2}>2+(x_{n}) ^{2} \\ x_{n}\left( x_{n}+1\right)>(x_{n}) ^{2}+2
\\ x_{n}>\frac{ (x_{n}) ^{2}+2}{x_{n}+1} \\ x_{n}>x_{n+1}}\)
Ciąg jest malejący i \(\displaystyle{ x_{0}=3}\), zatem ciąg jest też ograniczony z góry \(\displaystyle{ x_{n} \le 3}\)
Nasz ciąg jest ograniczony i monotoniczny (konkretnie malejący), zatem jest zbieżny. Oznaczmy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x _{n}=g}\).
Teraz przejdziemy obustronnie do granicy w naszym równaniu rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty} \frac{ (x_{n}) ^{2}+2}{x_{n}+1} \\ g= \frac{g^2+2}{g+1} \\ g^2+g=g^2+2 \\ g=2 \\ \lim_{n\to\infty} x _{n}=2}\)
Udowodnimy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ x_{n}>2}\)
\(\displaystyle{ x_{0}=3>2}\)
założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ x_{n}>2}\)
\(\displaystyle{ (x_{n}) ^{2} >2x_{n} \\ (x_{n}) ^{2}+2 >2x_{n}+2=2\left(x_{n}+1 \right) \\ \frac{ (x_{n}) ^{2}+2}{x_{n}+1}>2 \\ x_{n+1}>2}\)
zatem ciąg jest ograniczony z dołu.
Teraz korzystając z udowodnionej nierówności dowiedziemy, że ciąg jest malejący:
\(\displaystyle{ x_{n}>2 \\ x_{n}+(x_{n}) ^{2}>2+(x_{n}) ^{2} \\ x_{n}\left( x_{n}+1\right)>(x_{n}) ^{2}+2
\\ x_{n}>\frac{ (x_{n}) ^{2}+2}{x_{n}+1} \\ x_{n}>x_{n+1}}\)
Ciąg jest malejący i \(\displaystyle{ x_{0}=3}\), zatem ciąg jest też ograniczony z góry \(\displaystyle{ x_{n} \le 3}\)
Nasz ciąg jest ograniczony i monotoniczny (konkretnie malejący), zatem jest zbieżny. Oznaczmy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x _{n}=g}\).
Teraz przejdziemy obustronnie do granicy w naszym równaniu rekurencyjnym:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty} \frac{ (x_{n}) ^{2}+2}{x_{n}+1} \\ g= \frac{g^2+2}{g+1} \\ g^2+g=g^2+2 \\ g=2 \\ \lim_{n\to\infty} x _{n}=2}\)