Całka z ułamkiem

[taktofon]

Witam,
jak liczy się taką całkę ?

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\frac{1}{2}y^2-y+\frac{1}{2}} dy}\)

[leszczu450]

taktofon, zapisz mianownik jako iloczyn. Nawias razy nawias. Następnie rozłożymy to na ułamki proste. Dla ułatwienia proponuje przemnożenie licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ 2}\). Będzie łatwiej liczyć.

[taktofon]

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\frac{1}{2}y^2-y+\frac{1}{2}} dy = \int \frac{2}{y^2-2y+1} dy}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{2}{(y-1)^2} dy}\) tak ?

[leszczu450]

taktofon, bardzo dobrze. W sumie to nie musismy tu rozdzielać na ułamki proste. Wystarczy podstawienie. Co Ci przychodzi do głowy?

[taktofon]

\(\displaystyle{ t=(y-1)^2}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{2}{t} dt}\) ?

[leszczu450]

taktofon, blisko. Zauważ, że jak zrobisz podstawienie

\(\displaystyle{ t= \left( y-1\right) ^{2}}\) to po obustronnym zróżniczkowaniu mamy: \(\displaystyle{ dt= 2\left( y-1\right)dy}\). A to nas nie urządza.

Pomyśl jeszcze chwile sam. To nie jest trudne.

[taktofon]

Czyli

\(\displaystyle{ t=y-1}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{2}{t^2} dt}\) ? Myślę, że to jest ok.

[leszczu450]

taktofon, bardzo dobrze myślisz. Wyjmij sobie dwójkę przed całkę i rozwiąż tę całkę. Ona jes już elementarna. Jest na takie całki wzór.

[taktofon]

No wyszło, dzięki


\(\displaystyle{ -\frac{2}{y-1} + C}\)

[leszczu450]

taktofon, dobra robota : )