Może ktoś pomóc z dowodem?
Udowodnić że złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją
zlożenie bijekcji
-
mixpiotrek
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 12 lip 2010, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: radom
zlożenie bijekcji
Ostatnio zmieniony 21 sty 2014, o 22:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Literówka w temacie.
Powód: Literówka w temacie.
-
Seth Briars
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 20 lis 2013, o 00:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Coot's Chapel
- Pomógł: 55 razy
zlożenie bijekcji
\(\displaystyle{ f:A \rightarrow B,g:B \rightarrow C}\)
\(\displaystyle{ g f:A \rightarrow C}\) (złożenie \(\displaystyle{ f,g}\) )
niech \(\displaystyle{ g(f(a_1)=g(f(a_2))}\)
Skoro \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, to jest iniekcją, więc \(\displaystyle{ f(a_1)=f(a_2)}\), skoro \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to jest iniekcją, więc \(\displaystyle{ a_1=a_2}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ g(f(a_1))=g(f(a_2))}\) to \(\displaystyle{ a_1=a_2}\), co dowodzi, że złożenie \(\displaystyle{ f,g}\) jest iniekcją.
niech \(\displaystyle{ c \in C}\)
Skoro tak, to jako że \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, \(\displaystyle{ g}\) jest suriekcją, więc \(\displaystyle{ c=g(b)}\) dla \(\displaystyle{ b \in B}\). Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, więc \(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją, a więc \(\displaystyle{ b=f(a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in A}\) skąd \(\displaystyle{ c=g(f(a))}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ g f}\) jest suriekcją.
\(\displaystyle{ g f:A \rightarrow C}\) (złożenie \(\displaystyle{ f,g}\) )
niech \(\displaystyle{ g(f(a_1)=g(f(a_2))}\)
Skoro \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, to jest iniekcją, więc \(\displaystyle{ f(a_1)=f(a_2)}\), skoro \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to jest iniekcją, więc \(\displaystyle{ a_1=a_2}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ g(f(a_1))=g(f(a_2))}\) to \(\displaystyle{ a_1=a_2}\), co dowodzi, że złożenie \(\displaystyle{ f,g}\) jest iniekcją.
niech \(\displaystyle{ c \in C}\)
Skoro tak, to jako że \(\displaystyle{ g}\) jest bijekcją, \(\displaystyle{ g}\) jest suriekcją, więc \(\displaystyle{ c=g(b)}\) dla \(\displaystyle{ b \in B}\). Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, więc \(\displaystyle{ f}\) jest suriekcją, a więc \(\displaystyle{ b=f(a)}\) dla \(\displaystyle{ a \in A}\) skąd \(\displaystyle{ c=g(f(a))}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ g f}\) jest suriekcją.