Zbadać, czy ciąg jest zbieżny

[matinf]

Witam,

Mamy taki paskudny ciąg - trzeba zbadać czy jest on zbieżny

\(\displaystyle{ a_n = \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \left( 2 - \frac{1}{k} \right) ^k}.}\)

Chcę szacować (twierdzenie o 3 ciągach).
O ile z góry potrafię oszacować, to z dołu nie.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \left( 2 - \frac{1}{k} \right) ^k} \le \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} (2)^k} \le \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} 2^n} = \sqrt[n]{n \cdot 2^n} = 2 \sqrt[n]{n} \rightarrow 2}\)

[lukasz1804]

Jeśli górne oszacowanie będzie wyrazem ogólnym pewnego ciągu zbieżnego, to ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in\NN}}\) też będzie zbieżny.
Skoro nie jest konieczne dokładne obliczenie granicy ciągu, nie trzeba znajdować ograniczenia dolnego.

[matinf]

Przyznam, że trochę nie rozumiem - przecież nie sprawdziłem istotnej sprawy, czy ciąg jest zbieżny.
Nie możemy wykluczyć ze jest rozbieżny do -nieskończoności. A po drugie co jeśli ten ciąg jest ciągiem oscylującym i nie ma granicy ? Przecieżja nie podałem, żadnego argumentu za tym, że ten ciąg jest zbieżny.

-- 21 sty 2014, o 12:06 --

\(\displaystyle{ (-1)^n \le 2 \sqrt[n]{n}}\)

I co wtedy ?

[Dasio11]

Wskazówka: przypomnij sobie, jakie znasz metody obliczania granic postaci

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_n}.}\)

W tym wypadku będzie

\(\displaystyle{ b_n = \sum_{k=1}^n \left( 2-\frac{1}{k} \right)^k.}\)

[matinf]

Wskazówka: przypomnij sobie, jakie znasz metody obliczania granic postaci

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_n}.}\)

No właśnie tylko kojarzę twierdzenie o 3 ciągach, nie wiem jak szacować z dołu.

Co do innych metod. Nie pamiętam żadnej.

\(\displaystyle{ b_n = \sum_{k=1}^n \left( 2-\frac{1}{k} \right)^k.}\)

Nawet, jeśli potrafię pokazać zbieżność tego szeregu, to nie potrafię już obliczyć dokładnej granicy.

[Dasio11]

Ten szereg jest rozbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego. Jedyna nadzieja na skończoną granicę jest w tym, że pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia pociągnie sumę częściową w drugą stronę.
Granica

\(\displaystyle{ g =\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}}{b_n}}\)

istnieje. Spróbuj ją znaleźć. Wtedy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_n} = g.}\)

[matinf]

Trochę nie rozumiem.
Za pomocą zbadania granicy tego ilorazy możemy dostać co najwyżej informacje - o rozbieżności bądź zbieżności do zera ciągu.

[Dasio11]

Przypomnij sobie: viewtopic.php?t=352257 . ;-)

[Mruczek]

Z lewej strony możesz to oszacować np. tak
\(\displaystyle{ 2 - \frac{1}{n}=\sqrt[n]{ \left( 2 - \frac{1}{n} \right) ^n} \le \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \left( 2 - \frac{1}{k} \right) ^k}}\)
a to już dąży do 2.