Przykład z liczbą podzielną przez 16

[m-nowakowski05]

Witam, znalazłem zadanie, którego treść brzmi:
Wykaż, że liczba
\(\displaystyle{ 3^{n+2}+5\cdot 3^{n+3}+5^{n+2}+7\cdot5^{n}}\)
jest podzielna przez 16.
I mam małe wątpliwości co do rozwiązania, byłoby świetnie, gdyby ktoś przybliżył mi swoje wizje wyniku zadania. Z góry dziękuję!
Miłosz

[piasek101]

Rozpisz potęgi i wyłączaj przed nawias.

[Arytmetyk]

\(\displaystyle{ 3^{n+3}+5 \cdot 3^{n+4}+5^{n+3}+7 \cdot 5^{n+1}=3 \cdot 3^{n+2}+45 \cdot 3^{n+2}+125 \cdot 5^{n}+35 \cdot 5^{n}=3^{n+2}(3+45)+5^{n}(125+35)}\)

końcowe wyrażenie jest oczywiście podzielne przez 16, jeszcze można by to 16 wyłączyć przed całość

[piasek101]

\(\displaystyle{ 3^{n+3}+5 \cdot 3^{n+4}+5^{n+3}+7 \cdot 5^{n+1}=3 \cdot 3^{n+2}+45 \cdot 3^{n+2}+125 \cdot 5^{n}+35 \cdot 5^{n}=3^{n+2}(3+45)+5^{n}(125+35)}\)

końcowe wyrażenie jest oczywiście podzielne przez 16, jeszcze można by to 16 wyłączyć przed całość

A to co ?

[Arytmetyk]

Niepotrzebnie zrobiłem dla \(\displaystyle{ n+1}\).

[m-nowakowski05]

No tak, bo w tym przypadku byłoby:
\(\displaystyle{ 3^{n+2}+5\cdot3^{n+3}+5^{n+2}+7\cdot5^{n}= \\
3^{n+2}(15+1)+5^{n+2}+7\cdot5^{n}= \\
16\cdot3^{n+2}+5^{2}\cdot5^{n}+7\cdot5^{n}= \\
16\cdot3^{n+2}+5^{n}(25+7)= \\
16\cdot3^{n+2}+32\cdot5^{n}}\)