Kwantyfikatory - kilka pytań

[FanOfMath]

Wszystkie przykłady pochodzą z książki "wstęp do matematyki" autorstwa Jana Kraszewskiego .
(1)
Rozważmy wyrażenie: Jeśli liczba \(\displaystyle{ x}\) jest ujemna , to jej trzecia potęga też jest ujemna. Ponieważ mówi ono coś o własności zmiennej \(\displaystyle{ x}\) to jest funkcją zdaniową tej zmiennej:
1.\(\displaystyle{ x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0}\) (prawidłowy zapis)
2.\(\displaystyle{ \forall_{x} (x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0)}\) (niepoprawny zapis , nie wiem szczerze mówiąc dlaczego)

Drugie wyrażenie powinniśmy czytać tak: Trzecia potęga każdej liczby ujemnej też jest ujemna .
Tymczasem ja czytam to tak: dla dowolnej liczby ujemnej jej trzecia potęga też jest ujemna.
Wynikało by z tego , że w wyrażeniu drugim powinniśmy czytać od końca?

Po czym w kolejnym przykładzie mamy:
Nie każda liczba naturalna parzysta jest potęgą dwójki:
\(\displaystyle{ \neg (\forall_{n\in \NN}) (2|n \Rightarrow (\exists k \in \NN) n = 2^{k})}\)

Wydaje mi się wnioskując z pierwszego przykładu, że w tym przypadku zdanie: "Nie każda liczba naturalna parzysta jest potęgą dwójki"
też mówi coś o własności zmiennej \(\displaystyle{ n}\) i powinno być funkcją zdaniową tej zmiennej, tymczasem jest zdaniem.

(2)
Nieprawdą jest, że:
\(\displaystyle{ \forall_{x} (\phi (x) \vee \psi (x))\Rightarrow \forall_{x} \phi (x) \vee \forall_{x} \psi (x)}\)

Jako kontrprzykład mamy podany:
\(\displaystyle{ \phi (x) = x \le 0,\psi (x) = x \ge 0,x \in \RR}\)

W takim razie lewa strona implikacja będzie prawdziwa zawsze , a prawa strona czemu nie będzie prawdziwa? Jaki \(\displaystyle{ x}\) nie będzie do niej należał? jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) większy od \(\displaystyle{ 0}\) to spełnione będzie \(\displaystyle{ \psi (x)}\), jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) mniejszy od \(\displaystyle{ 0}\), to spełniony będzie \(\displaystyle{ \phi (x)}\), więc w każdym wypadku będzie \(\displaystyle{ 0 \vee 1}\), co jest prawdą, jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x = 0}\) to oba będą spełnione.

[Jan Kraszewski]

Wszystkie przykłady pochodzą z książki "wstęp do matematyki" autorstwa Jana Kraszewskiego .
(1)
Rozważmy wyrażenie: Jeśli liczba \(\displaystyle{ x}\) jest ujemna , to jej trzecia potęga też jest ujemna. Ponieważ mówi ono coś o własności zmiennej \(\displaystyle{ x}\) to jest funkcją zdaniową tej zmiennej:
1.\(\displaystyle{ x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0}\) (prawidłowy zapis)
2.\(\displaystyle{ \forall_{x} (x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0)}\) (niepoprawny zapis , nie wiem szczerze mówiąc dlaczego)

Drugie wyrażenie powinniśmy czytać tak: Trzecia potęga każdej liczby ujemnej też jest ujemna .
Tymczasem ja czytam to tak: dla dowolnej liczby ujemnej jej trzecia potęga też jest ujemna.
Wynikało by z tego , że w wyrażeniu drugim powinniśmy czytać od końca?

Dlaczego od końca?

Twój błąd polega na tym, że w nieuprawniony sposób dodajesz kwantyfikator, którego w wyrażeniu nie ma. Oczywiście, gdy dodasz ten kwantyfikator, to dostaniesz zdanie prawdziwe, ale to jest już inne wyrażenie.

Po czym w kolejnym przykładzie mamy:
Nie każda liczba naturalna parzysta jest potęgą dwójki:
\(\displaystyle{ \neg (\forall_{n\in \NN}) (2|n \Rightarrow (\exists k \in \NN) n = 2^{k})}\)

Wydaje mi się wnioskując z pierwszego przykładu, że w tym przypadku zdanie: "Nie każda liczba naturalna parzysta jest potęgą dwójki"
też mówi coś o własności zmiennej \(\displaystyle{ n}\) i powinno być funkcją zdaniową tej zmiennej,tymczasem jest zdaniem.

Czy w wyrażeniu "Nie każda liczba naturalna parzysta jest potęgą dwójki" pojawia się gdzieś zmienna (wolna) \(\displaystyle{ n}\)? Trzeba odróżniać zmienne wolne od zmiennych związanych.

(2)
Nieprawdą jest, że:
\(\displaystyle{ \forall_{x} (\phi (x) \vee \psi (x))\Rightarrow \forall_{x} \phi (x) \vee \forall_{x} \psi (x)}\)

Jako kontrprzykład mamy podany:
\(\displaystyle{ \phi (x) = x \le 0,\psi (x) = x \ge 0,x \in \RR}\)

W takim razie lewa strona implikacja będzie prawdziwa zawsze , a prawa strona czemu nie będzie prawdziwa? Jaki x nie będzie do niej należał? jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) większy od \(\displaystyle{ 0}\) to spełnione będzie \(\displaystyle{ \psi (x)}\) , jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) mniejszy od \(\displaystyle{ 0}\) , to spełniony będzie \(\displaystyle{ \phi (x)}\) , więc w każdym wypadku będzie \(\displaystyle{ 0 \vee 1}\) , co jest prawdą , jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x = 0}\) to oba będą spełnione.

No skąd, mylisz kwantyfikator ogólny ze szczegółowym. Naprawdę uważasz, że zdanie "Wszystkie liczby rzeczywiste są nieujemne lub wszystkie liczby rzeczywiste są niedodatnie" jest prawdziwe?

JK

[FanOfMath]

Faktycznie myślałem , że zmienne związane albo wolne mogę "odczytać" tylko z wyrażenia "matematycznego". (tzn. jak np. tutaj \(\displaystyle{ \forall_{x} (x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0)}\) )
Natomiast w zdaniu pisanym "niematematycznie" tyczy się ta sama reguła.

2.\(\displaystyle{ \forall_{x} (x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0)}\) (niepoprawny zapis , nie wiem szczerze mówiąc dlaczego)

Drugie wyrażenie powinniśmy czytać tak: Trzecia potęga każdej liczby ujemnej też jest ujemna .
Tymczasem ja czytam to tak: dla dowolnej liczby ujemnej jej trzecia potęga też jest ujemna.
Wynikało by z tego , że w wyrażeniu drugim powinniśmy czytać od końca?

Dlaczego od końca?
JK

Wydawało mi się , że pierwszy zapis był od końca ponieważ zaczynał się od słów: Trzecia potęga...

1) Trzecia potęga każdej liczby ujemnej też jest ujemna .
2) Dla dowolnej liczby ujemnej jej trzecia potęga też jest ujemna.

Rozumiem , że obydwa zapisy są dobre ale pierwszy jest bardziej elegancki i żeby zapisać to w sposób bardziej elegancki trzeba po prostu "wpaść" na taką myśl .

(2)
Nieprawdą jest, że:
\(\displaystyle{ \forall_{x} (\phi (x) \vee \psi (x))\Rightarrow \forall_{x} \phi (x) \vee \forall_{x} \psi (x)}\)

Jako kontrprzykład mamy podany:
\(\displaystyle{ \phi (x) = x \le 0,\psi (x) = x \ge 0,x \in \RR}\)

W takim razie lewa strona implikacja będzie prawdziwa zawsze , a prawa strona czemu nie będzie prawdziwa? Jaki x nie będzie do niej należał? jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) większy od \(\displaystyle{ 0}\) to spełnione będzie \(\displaystyle{ \psi (x)}\) , jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) mniejszy od \(\displaystyle{ 0}\) , to spełniony będzie \(\displaystyle{ \phi (x)}\) , więc w każdym wypadku będzie \(\displaystyle{ 0 \vee 1}\) , co jest prawdą , jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x = 0}\) to oba będą spełnione.

No skąd, mylisz kwantyfikator ogólny ze szczegółowym. Naprawdę uważasz, że zdanie "Wszystkie liczby rzeczywiste są nieujemne lub wszystkie liczby rzeczywiste są niedodatnie" jest prawdziwe?

JK

Faktycznie mylę te dwa kwantyfikatory.

Dziękuje za odpowiedź.

[Jan Kraszewski]

1) Trzecia potęga każdej liczby ujemnej też jest ujemna .
2) Dla dowolnej liczby ujemnej jej trzecia potęga też jest ujemna.

Rozumiem , że obydwa zapisy są dobre ale pierwszy jest bardziej elegancki i żeby zapisać to w sposób bardziej elegancki trzeba po prostu "wpaść" na taką myśl .

Oba zapisy są równie dobre.

JK