promien zbieznosci szeregu

[17inferno]

Znaleźć promień zbieżności szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^{n}\left( z-1\right)^n }{ \sqrt{\left( 3n-2\right)2^n } }}\)

[FreeFeynman123]

Skorzystaj z kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów.

[17inferno]

z kryterium D'Alemberta mam tak:

\(\displaystyle{ \frac{3(z-1) \sqrt{(3n-2)2^{n}} }{ \sqrt{(3n+1)2^{n+1}} }}\)

i co dalej?

[Martingale]

Nie lepiej użyć reguły Cauchy'ego-Hadamarda? Jeżeli wyraz szeregu to \(\displaystyle{ a_n (z-1)^n}\), to liczymy:

\(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n] { \frac{3^{n}}{ \sqrt{\left( 3n-2\right)2^n }} }= \cdots}\)

Promień zbieżności to odwrotność tej granicy.