Warunkowa zbieżność, sinus z kosinusem

[Martingale]

Wykazać, że szereg jest zbieżny warunkowo:

\(\displaystyle{ \sum_{n\ge1}\cos\left(\pi n\right)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\)

Korzystając z kryterium Dirichleta wiem, że jest zbieżny (bo kosinus ma ograniczone sumy częściowe, a sinus zbiega monotonicznie do zera). Jak pokazać, że nie jest zbieżny bezwzględnie?

[a4karo]

A jak szybko zbiega do zera \(\displaystyle{ \sin(\pi/n)}\)?

[Martingale]

Cóż, znam takie oszacowanie (dla wyrazów naszego szeregu):

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right) \le \sin (\pi/n) \le \pi/n}\)

[a4karo]

OK, załóżmy, że to prawda. Co powiesz o szeregu, którego wyrazami sa lewe strony tej nierówności?

[Martingale]

Rozbieżny, bo spróbowałbym go rozbić na dwa mniejsze: rozbieżny szereg harmoniczny i zbieżny \(\displaystyle{ \sum n^{-2}}\), z czego wnioskuję (kryterium o minorancie/majorancie), że szereg o wyrazach \(\displaystyle{ \sin (\pi/n)}\) jest rozbieżny.

[a4karo]

No i już

[Martingale]

Rzeczywiście, pomyliło mi się z innym zadaniem - teraz jest to oczywiste. Jak jednak pokazać warunkową zbieżność poniższego szeregu?

\(\displaystyle{ \sum_{n\ge1} \sin(1/n) \cos(n)}\)