Równanie logarytmiczne

[Rixer]

Witam
Mam problem z tym równaniem , mógł by ktoś mnie naprowadzić na prawidłowe rozwiązanie ?

\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \log _{4x}2=\log _{8\sqrt{x}}2}\)

Robię to tak:
1.Zamieniam \(\displaystyle{ 2\log _{x}2}\) na \(\displaystyle{ \log _{x}4}\)
2.Potem zamieniam wszystko na wspólną podstawę

Następnie po wymnożeniu przez mianowniki otrzymuje jakieś cuda ;/
Liczę na na waszą pomoc!

[mortan517]

Wszystko pozamieniaj na potęgi dwójki i pokaż jak liczysz.

[Rixer]

1.\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \frac{\log _{x}2 }{\log _{x}4x}= \frac{\log _{x}2}{\log _{x}8 \sqrt{x}}}\)
2.\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \log _{x}4x \cdot \log _{x}2=\frac{\log _{x}2}{\log _{x}8\sqrt{x}} \cdot \log _{x}4x}\)
3.\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \log _{x}8\sqrt{x} \cdot \log _{x}4x \cdot \log _{x}8\sqrt{x} \cdot \log _{x}2 \cdot \log _{x}8\sqrt{x}=\log _{x}2 \cdot \log {x}4x}\)
4.\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \log _{x}8\sqrt{x} \cdot \log _{x}8\sqrt{x} \cdot \log _{x}8\sqrt{x}=1}\)
5.\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \log _{x}8\sqrt{x} \cdot \log _{x}8\sqrt{x} \cdot \log _{x}8\sqrt{x}=\log _{x}x}\)
6.\(\displaystyle{ 4 \cdot 8\sqrt{x} \cdot 8\sqrt{x} \cdot 8\sqrt{x}=x}\)

Zapewne gdzieś tu jest błąd

[mortan517]

Przejście z 1 do 2 już jest źle.

[Marmat]

Masz problem z mnożeniem obu stron równania przez liczbę.
\(\displaystyle{ a \frac{b}{c}= \frac{d}{e} \ \ | \cdot c}\)

\(\displaystyle{ a \frac{b}{c}c= \frac{d}{e}c}\)
\(\displaystyle{ a b= \frac{d}{e}c}\)
I konkretnie w tym zadaniu:
\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \frac{\log _{x}2 }{\log _{x}4x}= \frac{\log _{x}2}{\log _{x}8 \sqrt{x} }\ \ | \cdot \log _{x}4x}\)
\(\displaystyle{ 2\log _{x}2 \cdot \log _{x}2 = \frac{\log _{x}2}{\log _{x}8 \sqrt{x} } \cdot \log _{x}4x}\)
A tak wogóle lepiej przejść na podstawę 2.
Pozdrawiam.