Warunkowa wartość oczekiwana

[Stary]

Witam,

Niech \(\displaystyle{ X(w)=w^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ Y(w)=1-|1-2w|}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ E(X|Y)}\)

Definicję warunkowej wartości oczekiwanej znam, ale nie wiem jak rozwiązać takie coś.

Jakieś pomysły?

[Adifek]

Pomysły są takie, żebyś podał dane. Nie wiemy nawet w jakiej przestrzeni probabilistycznej siedzimy.

[Stary]

Siedzimy w \(\displaystyle{ Omega=[0,1]}\)

[Adifek]

Jak wygląda sigma ciało generowanie przez \(\displaystyle{ Y}\). Weź generator i licz z definicji

[Stary]

Tyle to i ja wiem, ale nie wiem jak żadnego przykładu nie mielismy robionego, definicje znam ale wyraźnie chyba nie do końca rozumiem.
\(\displaystyle{ sigma}\) generowana przez Y to będzie po prostu funkcja która przyjmuje dwie postaci dla dwóch przedziałów i pewnie ta warunkowa wartość oczekiwana będzie rozbiciem całki wględem tych przedziałów, ale jak to będzie wyglądało?

[Alef]

To zadanie ma raczej długie rozwiązanie...

Sigma ciało generowane przez \(\displaystyle{ Y}\) to będzie rodzina zbiorów, a dokładniej rodzina wszystkich możliwych przeciwobrazów \(\displaystyle{ Y}\). Narysuj sobie jak wygląda \(\displaystyle{ Y}\) i sprawdź jak wyglądają przeciwobrazy \(\displaystyle{ Y}\). Okaże się, że ta sigma algebra tak naprawdę jest generowana przez zbiory postaci \(\displaystyle{ C \cup (1-C)}\) gdzie \(\displaystyle{ C}\) należy do sigma algebry zbiorów borelowskich na \(\displaystyle{ left[0,frac{1}{2}
ight)}\). Później możesz zacząć korzystać z definicji WWO pamiętając o tym, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ A}\) należy do sigma algebry zbiorów borelowskich generowanych przez \(\displaystyle{ Y}\) to istnieje zbiór \(\displaystyle{ C}\) z sigma algebry zbiorów borelowskich na \(\displaystyle{ left[0,frac{1}{2}
ight)}\) taki, że \(\displaystyle{ A=C \cup (1-C)}\). Musisz również uwzględnić w obliczeniach symetrię \(\displaystyle{ Y}\).

Powodzenia!

[Stary]

Niestety nie mogę tego jakoś rozgryźć. Mógłby ktoś jeszcze pomóc? :/
Narysowałem sobie Y i jest ładna symetria.
Rozumiem, że chcemy dązyć do uzyskania rozbicia sigma algebry, żeby skorzystać ze wzoru na sumę wartości oczekiwanych na danym zbiorze z tego rozbicia?

[Alef]

Chcemy dążyć do uzyskania rozbicia sigma algebry, żeby skorzystać z addytywności całki. Bo musisz sprawdzić warunek z definicji WWO, a tam występuje całka.