Sprowadzenie do równania liniowego i równanie róż.

[taktofon]

Powie ktoś jak sprowadzić to do równania liniowego?

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = xt^2-t^3x^4}\)

Mi po przekształceniach niestety wychodzi \(\displaystyle{ xt-tx^4}\) a to jest źle.


Mam również problem z takim równaniem:
\(\displaystyle{ (2xe^y+3ye^x)dx+(x^2e^y+3e^x)dy = 0}\)

Chodzi tu o to, że najpierw sprawdza się czy równanie jest zupełne (jest) a potem liczy się całkę oznaczoną, ale mam problem z tymi zagnieżdżeniami funkcji e, czy może ktoś pokazać jak to zrobić ?

[Mariusz M]

Pierwsze jest Bernoulliego więc podstawienie

\(\displaystyle{ u=x^{-3}}\)


\(\displaystyle{ (2xe^y+3ye^x)dx+(x^2e^y+3e^x)dy = 0\\
P=2xe^y+3ye^x\\
Q=x^2e^y+3e^x\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=2xe^{y}+3e^{x}\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}=2xe^{y}+3e^{x}\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=\frac{ \partial Q}{ \partial x}\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=2xe^y+3ye^x\\
F\left( x,y\right)=x^2e^{y}+3ye^{x}+\varphi\left( y\right) \\
\frac{ \partial F}{ \partial y}=Q\\
x^{2}e^{y}+3e^{x}+\varphi^{\prime}\left( y\right)=x^2e^y+3e^x\\
\varphi^{\prime}\left( y\right)=0\\
\varphi\left( y\right)=C\\
F\left( x,y\right)=x^2e^{y}+3ye^{x}+C\\}\)

\(\displaystyle{ F\left( x,y\right)=0}\) postać uwikłana rozwiązania

[taktofon]

Możesz rozwinąć kwestię co dalej zrobić z tym pierwszym ?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = xt^2-t^3x^4\\
u=x^{-3}\\
\frac{ \mbox{d}u}{ \mbox{d}t}= \frac{-3}{x^{4}} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t}\\
\frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{x^4} = t^2 \cdot \frac{1}{x^3} -t^3\\
-3\frac{dx}{dt} \cdot \frac{1}{x^4}=-3t^2\cdot \frac{1}{x^3}+3t^3\\
u^{\prime}=-3t^2u+3t^3}\)
i masz równanie liniowe