Równoważność, zbiór ilorazowy

[Hausa]

Sprawdź, czy relacja \(\displaystyle{ (x,y) \sim (s,t) \hbox{ wdy } \exists z>0\quad x=zs \wedge y=zt}\) jest relacją równoważności w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Jeśli tak, to wyznacz zbiór ilorazowy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 /_{\sim}}\).

[yorgin]

Jakie masz postępy w zadaniu? Co zostało zrobione, z czym są problemy?

[Hausa]

Nie mam pewności co do sprawdzenia równoważności. Przy sprawdzaniu zwrotności mam \(\displaystyle{ (x,y) \sim (x,y)}\), więc \(\displaystyle{ x=zx \wedge y=zy}\) i skoro to ma być dla każdego x,y spełnione, to wtedy dostaję, że tylko dla \(\displaystyle{ z=1}\) relacja jest zwrotna? I w podobny sposób sprawdzam symetryczność i przechodniość.

[Jan Kraszewski]

Nie mam pewności co do sprawdzenia równoważności. Przy sprawdzaniu zwrotności mam \(\displaystyle{ (x,y) \sim (x,y)}\), więc \(\displaystyle{ x=zx \wedge y=zy}\) i skoro to ma być dla każdego x,y spełnione, to wtedy dostaję, że tylko dla \(\displaystyle{ z=1}\) relacja jest zwrotna?

Stwierdzenie "tylko dla \(\displaystyle{ z=1}\) relacja jest zwrotna" nie ma sensu. Definicja relacji mówi o istnieniu dodatniego \(\displaystyle{ z}\) i w tym wypadku pokazałaś, że takie \(\displaystyle{ z}\) istnieje, zatem \(\displaystyle{ (x,y)\sim(x,y)}\), czyli relacja jest zwrotna.

JK

[Hausa]

Dziękuję!
Tylko nie wiem jak później ruszyć ten zbiór ilorazowy. Tzn nie wiem jak wskazać tę "wspólną cechę"

[Jan Kraszewski]

Pomyśl o tym geometrycznie jak o punktach na płaszczyźnie. Postaraj się wyznaczyć klasę abstrakcji konkretnego punktu, albo przynajmniej kilka punktów z nim równoważnych. Potem zmień punkt i powtórz to. Staraj się zobaczyć zależność. Staraj się od razu myśleć o podziale płaszczyzny. Próbuj.

JK

[Hausa]

Staram się póki co widzę tylko to, że przez te punkty przechodzą proste, które przechodzą przez środek układu. Chyba ze cos mylę. Ale szukam dalej

[Jan Kraszewski]

Staram się póki co widzę tylko to, że przez te punkty przechodzą proste, które przechodzą przez środek układu.

Ciepło, ciepło. Ale czy to są na pewno całe proste?

JK

[Hausa]

Fakt, czyli dla każdego punktu jest półprosta o początku w zerze ale bez zera. Albo punkt zero.

[Jan Kraszewski]

No i tak właśnie wyglądają klasy abstrakcji.

JK

[Hausa]

Czyli zbiorem ilorazowym będzie zbiór wszystkich półprostych razem z punktem 0, czyli jest to po prostu \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) ?

[Jan Kraszewski]

Czyli zbiorem ilorazowym będzie zbiór wszystkich półprostych razem z punktem 0,

Tak (o ile masz na myśli, że \(\displaystyle{ \{(0,0)\}}\) jest osobnym elementem zbioru ilorazowego).

JK

[Hausa]

Bardzo dziękuję za wytłumaczenie i poświęcony czas

[yorgin]

Ja zadam dodatkowe (nieobowiązkowe) pytanie - czy potrafisz jeszcze prościej opisać zbiór ilorazowy? Powiedzmy, że specyficzny dobór reprezentantów klas równoważności może dać nam ładny opis zbioru \(\displaystyle{ \RR^2/\sim}\)

[Hausa]

No to przychodzi mi na myśl tylko to, że można coś kombinować z samymi znakami współrzędnych. Ale nie wiem czy akurat o to Ci chodzi