Firma produkuje dwa wyroby X i Y. Koszt w mln zł z ich sprzedaży opisany jest funkcją: \(\displaystyle{ f(x,y)=1000ln( 2x^{2} + y^{2} )}\) , gdzie x i y oznaczają wielkości produkcji wyrobów w tys. sztuk. Do ich produkcji używany jest jeden środek produkcji, którego zużycie wynosi odpowiednio 6 i 3 kg na sztukę wyrobu X i Y, zaś tygodniowy zasób jest równy 90 ton i musi być w pełni wykorzystany. Wyznacz optymalny plan produkcji.
odpowiedzi:
\(\displaystyle{ f(x,y)=1000ln( 2x^{2} + y^{2} ) \rightarrow min}\)
przy założeniu:
\(\displaystyle{ 6x+3y=90}\)
\(\displaystyle{ x=y=10}\)
optymalny plan produkcji 2 dobra
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
optymalny plan produkcji 2 dobra
Z założenia:
\(\displaystyle{ 6x+3y=90}\)
wynika, że:
\(\displaystyle{ y=30-2x}\)
Zatem chcemy minimalizować funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=1000\ln \left( 2x^2 + (30-2x)^2\right) = 1000 \ln (6x^2-120 x+900)}\)
Zatem trzeba znaleźć minimum tej funkcji. Ponieważ logarytm jest funkcją monotoniczną (rosnącą), to \(\displaystyle{ \min \ln (g(x)) = \ln (\min g(x))}\).
Minimum paraboli \(\displaystyle{ 6x^2-120 x+900}\) jest dla \(\displaystyle{ x=10}\) (mam nadzieję, że to już umiesz sam policzyć). Z tego też wynika, że \(\displaystyle{ y=30-2x=10}\) i to jest odpowiedź (podana przez Ciebie na końcu zadania).
\(\displaystyle{ 6x+3y=90}\)
wynika, że:
\(\displaystyle{ y=30-2x}\)
Zatem chcemy minimalizować funkcję:
\(\displaystyle{ f(x)=1000\ln \left( 2x^2 + (30-2x)^2\right) = 1000 \ln (6x^2-120 x+900)}\)
Zatem trzeba znaleźć minimum tej funkcji. Ponieważ logarytm jest funkcją monotoniczną (rosnącą), to \(\displaystyle{ \min \ln (g(x)) = \ln (\min g(x))}\).
Minimum paraboli \(\displaystyle{ 6x^2-120 x+900}\) jest dla \(\displaystyle{ x=10}\) (mam nadzieję, że to już umiesz sam policzyć). Z tego też wynika, że \(\displaystyle{ y=30-2x=10}\) i to jest odpowiedź (podana przez Ciebie na końcu zadania).