Równanie funkcyjne

[SzalonyMatematyk]

Mam wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR \ \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \RR}\), takie że \(\displaystyle{ f(x)+2f( \frac{1}{x})=x}\). Za \(\displaystyle{ x}\) podstawiam sobie \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) i po paru przekształceniach wychodzi \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{3x} - \frac{x}{3}}\) , ale jak uzasadnić, że wyznaczona funkcja jest jedyną?

[kubek1]

Przypuśćmy, że mamy dwa rozwiązania:\(\displaystyle{ f,g}\). Wtedy byłoby:
\(\displaystyle{ f(x)+2f(\frac{1}{x} )=g(x)+2g(\frac{1}{x} )=x}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ x \rightarrow \frac{1}{x}}\), mamy:
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+2f(x)=g(\frac{1}{x})+2g(x)}\).
Z tych dwóch równań wynika \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\), czyli równanie ma jednoznaczne rozwiązanie.