szereg Laurenta

[Hatcher]

Rozwinąć w szereg Laurent \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z^2+4}}\) w \(\displaystyle{ P= \{z \in \mathbb{C}: \ 1<|z-1|<2 \}}\)

\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{4i} \left( \frac{1}{z-2i}-\frac{1}{z+2i} \right)=[w=z-1]=\frac{1}{4i} \left( \frac{1}{w+1-2i}-\frac{1}{w+1+2i} \right)=...}\)
I nie mam pomysłu jak dalej ?

Bardzo proszę o pomoc.

[Chromosom]

Przykładowo:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{z+2\text i}=-\frac{1}{-1+(z+2\text i+1)}=\frac{1}{1-(z+2\text i+1)}=\,\ldots}\)

[Hatcher]

Nie rozumiem za bardzo tej podpowiedzi, ale mam inny przykład i zrobiłem go w ten sposób:
Rozwinąć w szereg Laurent \(\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z^2+4}}\) w \(\displaystyle{ P= \{z \in \mathbb{C}: \ 2<|z-1|<+\infty \}}\)

\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{4i} \left( \frac{1}{z-2i}-\frac{1}{z+2i} \right)=[w=z-1]=\frac{1}{4i} \left( \frac{1}{w+1-2i}-\frac{1}{w+1+2i} \right)= \frac{1}{4i} \left( \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{1+\frac{1-2i}{w}} - \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{1+\frac{1+2i}{w}} \right)= \frac{1}{4i} \left( \frac{1}{w} \cdot \sum\limits_{n=0}^{+ \infty}{(-1)^n \frac{(1-2i)^n}{w^n}} - \frac{1}{w} \cdot \sum\limits_{n=0}^{+ \infty}{(-1)^n \frac{(1+2i)^n}{w^n}} \right)=
\frac{1}{4i} \left( \sum\limits_{n=0}^{+ \infty}{(-1)^n \frac{(1-2i)^n}{(z-1)^{n+1}}} - \sum\limits_{n=0}^{+ \infty}{(-1)^n \frac{(1+2i)^n}{(z-1)^{n+1}}} \right)}\)
A ponieważ :\(\displaystyle{ \left| \frac{1-2i}{z-1} \right| <1 \iff |z-1|>\sqrt{5}}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \frac{1+2i}{z-1} \right| <1 \iff |z-1|>\sqrt{5}}\), więc jesteśmy w tym pierścieniu co trzeba.

I wydaje mi się, że jest dobrze, chyba ?

[Dasio11]

Raczej nie. To rozwinięcie jest poprawne, ale zbieżne w pierścieniu \(\displaystyle{ \{ z \in \CC : \sqrt{5} < |z-1| \}.}\) Co więcej, rozwinięcia zbieżnego w obszarze \(\displaystyle{ P = \{ z \in \CC : 2 < |z-1| \}}\) nie uda się uzyskać, bo \(\displaystyle{ 2 \mathrm i \in P,}\) a jest to biegun funkcji \(\displaystyle{ f.}\)

[Hatcher]

No fakt, to jest źle, no to nie wiem, nie mogę rozkodować tej podpowiedzi Chromosom z tymi przejściami

[Dasio11]

Ja też nie. Ja bym zrobił tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{w+1-2 \mathrm{i}} = \frac{1}{1 - 2 \mathrm{i}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{w}{1-2 \mathrm{i}}} \\ \\
\frac{1}{w+1+2 \mathrm{i}} = \frac{1}{1 + 2 \mathrm{i}} \cdot \frac{1}{1+ \frac{w}{1+2 \mathrm {i}}}}\)

i rozpisał prawe strony w szeregi. Będą one zbieżne w całym kole

\(\displaystyle{ \{ z \in \CC : |w| < \sqrt{5} \} = \{ z \in \CC : |z-1| < \sqrt{5} \},}\)

czyli w pierścieniu \(\displaystyle{ P}\) tym bardziej.