Dowód na monotoniczność funkcji

[rokku]

Hej! Mam zadanie w którym muszę wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x-1}{x-3}}\) jest malejaca w przedziale \(\displaystyle{ (3; + \infty )}\)

rozwiazalem to w następujacy sposob:
teza: \(\displaystyle{ f(x) > f(x + 1)}\)
po przekształceniach wychodzi:
\(\displaystyle{ 2 > 0}\) a więc funkcja jest malejąca w \(\displaystyle{ \RR}\), jednak musialem zalozyc, że 1) \(\displaystyle{ x \neq 3}\) i 2) \(\displaystyle{ x \neq 2}\)
o ile liczbe \(\displaystyle{ 3}\) muszę wyrzucić na pewno (nawet na wykresie nie ma wartosci) to \(\displaystyle{ 2}\) ma normalna wartosc, ale musialem ja odrzucic w obliczeniach bo bylo \(\displaystyle{ \frac{x}{x-2}}\) a nie można dzielic przez zero...

Ogolem, udowodnilem nawet wiecej niz musialem, ale musialem odrzucic jeden wynik, czy jest to błąd i czy można to inaczej udowodnić? Albo jakoś inaczej rozpisac obliczenia aby nie musieć odrzucać argumentu o wartości \(\displaystyle{ 2}\)?

[marcel112]

ja bym to tak zrobił: niech \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) takie ,że \(\displaystyle{ x_1 >3 \wedge x_2>3}\) teraz wzór naszej funkcji przekształcamy \(\displaystyle{ \frac{x-1}{x-3}=1+\frac{2}{x-3}}\) następnie badamy znak \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=1+\frac{2}{x_1-3}-1-\frac{2}{x_2-3}=2\left(\frac{1}{1-x_1-3}-\frac{1}{x_2-3}\right)=2\left(\frac{x_2-x_1}{(x_1-3)(x_2-3)}\right)}\) a stąd już mamy, że \(\displaystyle{ x_2-x_1<0}\) oraz \(\displaystyle{ (x_1-3)(x_2-3)>0}\) czyli nasz iloraz będzie ujemny czyli nasza funkcja w szukanym przedziale malejąca

[Kaf]

Tak się udowadnia monotonniczność ciągu... Tutaj chyba najprościej wykorzystać pochodną funkcji.

[Ania221]

Założenie \(\displaystyle{ x_2>x_1 \Rightarrow x_2-x_1>0}\)
Trzeba obliczyć znak różnicy \(\displaystyle{ f(x_2)-f(x_1)=}\)

-- 12 sty 2014, o 14:01 --

ja bym to tak zrobił: niech \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) takie ,że \(\displaystyle{ x_1 >3 \wedge x_2>3}\) teraz wzór naszej funkcji przekształcamy \(\displaystyle{ \frac{x-1}{x-3}=1+\frac{2}{x-3}}\) następnie badamy znak \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=1+\frac{2}{x_1-3}-1-\frac{2}{x_2-3}=2\left(\frac{1}{1-x_1-3}-\frac{1}{x_2-3}\right)=2\left(\frac{x_2-x_1}{(x_1-3)(x_2-3)}\right)}\) a stąd już mamy, że \(\displaystyle{ x_2-x_1<0}\) oraz \(\displaystyle{ (x_1-3)(x_2-3)>0}\) czyli nasz iloraz będzie ujemny czyli nasza funkcja w szukanym przedziale malejąca

Robisz to w odwrotną stronę.
Funkcja jest rosnąca, jeśli rośnie jednocześnie argument i wartość.
Funkcja jest malejąca jeśli argument rośnie a wartość maleje.

[rokku]

marcel,
skąd wziałeś:
\(\displaystyle{ 1+\frac{2}{x-3}}\) ?
nie bardzo wiem skąd to się wzieło
kaf, jeszcze nie powtarzałem pochodnych ;D
Ania, właśnie tak zrobiłem, choć dzięki za pomysł aby zamiast x i x+1 zapisać: \(\displaystyle{ x_{1} i x_{2}}\), to właściwie rozwiązuje problem

[Ania221]

Nie do końca tak zrobiłeś.
Wykonaj dokładnie działanie, które napisałam, sprowadź do wspólnego mianownika, uporządkuj licznik (marcel112 ma prawie dobrą postać końcową, ale ponieważ robił w odwrotną stronę, to ma zły znak, jednak wniosek dobry) i wtedy popatrz na znaki w poszczególnych nawiasach w mianowniku i liczniku.

[marcel112]

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x-3}=\frac{x-3+2}{x-3}=1 + \frac{2}{x-3}}\)

Ania221, jeżeli założyłem na początku, że \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) to chyba nie ma różnicy jaka cyferka stoi przy \(\displaystyle{ x}\)

[rokku]

Wyliczyłem waszym sposobem, wszystko ładnie wyszło i całość rozumiem. Dzięki!

[Ania221]

Ania221, jeżeli założyłem na początku, że \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) to chyba nie ma różnicy jaka cyferka stoi przy \(\displaystyle{ x}\)

Owszem, jest różnica, bo Twoje założenie jest niezgodne z definicją, a tu trzeba wykazać monotoniczność z definicji.
Założenie \(\displaystyle{ x_2-x_1<0}\) oznacza, że argument maleje.
A funkcja jest z definicji malejąca, jeżeli jednocześnie argument rośnie i wartość maleje.