Problematyczne całki nieoznaczone

[Slash0r]

Witam mam problem z jak na razie dwiema całkami:
1)\(\displaystyle{ \int x^3(x^2-1)^7 dx}\)
Rozbijam ją na \(\displaystyle{ \int xx^2(x^2-1)^7}\) podstawiam \(\displaystyle{ t=x^2}\), po drodze wszystko wygląda ok, a dostaję wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{8}x^2(x^2-1)^8 -\frac{1}{72}(x^2-1)^9\right)}\). Prawidłowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{18}(x^2-1)^9+\frac{1}{16}(x^2-1)^8}\). Nie mogę znaleźć swojego błędu, dlatego proszę o pomoc.

2)\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{x+1} dx}\) Nie wydaje się trudna ale jakoś mnie gnębi i nie chce się dać rozwiązać. Kombinowałem z przekształceniem do \(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2-1}}\) ale nie mogę doprowadzić tego toku myślenia do końca. Wynik prawidłowy to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\sqrt{x}-arctg\sqrt{x})}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[rafalpw]

1) Ciężko znaleźć błąd skoro nie przestawiłeś obliczeń.

2) Podstaw \(\displaystyle{ t= \sqrt{x}}\) , to dostaniesz całkę z funkcji wymiernej.

[Ambrose]

Czy w przypadku pierwszego równania nie lepiej użyć podstawienia:
\(\displaystyle{ t=x ^{2} -7}\)

P.S. Wydaje mi się również, że znalazłem błąd w Twoim równaniu - Twój wynik to chyba
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \frac{1}{8}x^2(x^2-7)^8 -\frac{1}{72}(x^2-7)^9\right)}\)

Bo skąd nagle \(\displaystyle{ 7}\) zamieniłaby się na \(\displaystyle{ 1}\)?

[Slash0r]

@up mój błąd w przepisywaniu! tam ma być 1 a nie 7, już poprawiłem

@rafalpw nie mogę w rozwiązaniu tego zadania używać całki z funkcji wymiernej. W pierwszym bardziej mi zależy na ocenie, czy pierwsze podstawienie jest dobre. Spróbuję z podstawieniem od Ambrose i zobaczę czy się uda. Ewentualne problemy przedstawię wieczorem.

[rafalpw]

Co to znaczy, że nie możesz korzystać z całek z funkcji wymiernych? A z jakich całek możesz korzystać?

[yorgin]

nie mogę w rozwiązaniu tego zadania używać całki z funkcji wymiernej

Kto Ci broni? Całki z funkcji wymiernych to bodaj najważniejszy typ całek elementarnych, z jakimi można się spotkać. Do tego z podstawienia zaproponowanego wyżej obliczenia mieszczą się w dwóch linijkach zeszytu.

Przy okazji, wynik "prawidłowy" wypisany przez Ciebie w pierwszym poście jest nieprawidłowy.

Edit: Rozwiązanie bez podstawień:
\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{x}\dd x}{x+1}=\int\frac{1+x-1}{\sqrt{x}(x+1)}\dd x
=\int\frac{\dd x}{\sqrt{x}}-\int\frac{\dd x}{\sqrt{x}(x+1)}=
2\sqrt{x}-\int\frac{\dd (\sqrt{x})}{(\sqrt{x})^2+1}=\\ \\ =2\sqrt{x}-2\arctan\sqrt{x}+C}\)

Sam oceń, jaki jest sens tego rozwiązania, skoro wywodzi się ono czysto z podstawienia \(\displaystyle{ t=\sqrt{x}}\) prowadzącego do funkcji wymiernej.

[Slash0r]

Niestety w tej całce tak sobie zażyczył profesor i tak musi być. Dla potomnych rozwiązanie bez użycia funkcji wymiernej:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{x}}{x+1}}\) niech \(\displaystyle{ t=\sqrt{x}}\), stąd \(\displaystyle{ t^2=x}\) i \(\displaystyle{ 2tdt=dx}\) stąd mamy: \(\displaystyle{ \int \frac{2t^2}{t^2+1}=2\int \frac{t^2+1-1}{t^2+1}=\2\left( \int dt - \int \frac{1}{t^2+1}\right) = 2(\sqrt{x}-arctg{\sqrt{x}})}\)

[yorgin]

Raz, że jest to to samo, co wychodzi po podstawieniu zapisanym przez rafalpw, a dwa i tak liczysz całkę z funkcji wymiernej. To ma być rozwiązanie bez "użycia funkcji wymiernej"? Totalnie bez sensu.