całka nieoznaczona

[jaranna]

Proszę o podpowiedź co do tej całki:
\(\displaystyle{ \int x (\arctan x)^{2}\dd x}\)

[szw1710]

Funkcje cyklometryczne bardzo często całkujemy przez części. Tu chyba trzeba będzie dwa razy.

[Ambrose]

Ja spróbowałbym tak, że:
\(\displaystyle{ f(x)=\arctan (x)}\)
\(\displaystyle{ g'(x)=x \cdot \arctan (x)}\)

Całkę z \(\displaystyle{ x \cdot \arctan (x)}\) można wyliczyć przez części \(\displaystyle{ g'(x)=x}\) i \(\displaystyle{ f(x)=\arctan (x)}\)
Wynik to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x ^{2} \cdot \arctan (x)- \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2} \arctan (x)}\)

Wracając do pierwszej całki:
\(\displaystyle{ f(x)=\arctan (x)}\)
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{x ^{2} +1}}\)
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{2} x ^{2} \cdot \arctan (x)- \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2} \arctan (x)}\)

Mam nadzieję, że dalej jakoś pójdzie.

[Mariusz M]

Ambrose, Funkcją pierwotną do \(\displaystyle{ x}\)
jest też \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( x^2+1\right)}\)
wtedy wszystko powinno się ładnie skrócic

\(\displaystyle{ \int x (\arctan x)^{2}\dd x\\
= \frac{1}{2}\left( x^2+1\right)\arctan^{2}{x}-\int{\left( \frac{1}{2}\left( x^2+1\right) \cdot 2\arctan{x} \cdot \frac{1}{x^2+1} \right) \mbox{d}x }\\
=\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)\arctan^{2}{x}-\int{\arctan{x} \mbox{d}x }\\
=\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)\arctan^{2}{x}-\left( x\arctan{x}-\int{ \frac{x}{1+x^2} \mbox{d}x }\right) \\
=\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)\arctan^{2}{x}- x\arctan{x}+\frac{1}{2}\ln{\left| 1+x^2\right| } +C\\}\)

Podstawienie przydaje się dopiero w ostatniej całce

[Ambrose]

Faktycznie, Twoja wersja jest znacznie szyba i przyjemniejsza.