Całka nieoznaczona

[jaranna]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu:
\(\displaystyle{ \int (\arcsin x)^{2} dx}\)

[szw1710]

Przez części.

[jaranna]

Próbowałam ale dochodzę do momentu, w którym nie wiem co dalej zrobić:
\(\displaystyle{ \int (\arcsin x)^2 = \begin{vmatrix} u'=1&u=x\\v=(\arcsin x)^2&v'= \frac{2\arcsin x}{ \sqrt{1-x^{2}} } \end{vmatrix} = x(\arcsin x)^2 -2 \int \frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x^{2}} }}\)
i tutaj się zacinam...

[Ambrose]

Tutaj temat z takim samym pytaniem - przedstawiono w nim rozwiązania.

46045.htm

[szw1710]

jaranna, rozdziel sprawiedliwie - po arcus sinusie.

[Ambrose]

Jeśli koniecznie chcesz rozwiązać całkę, która Ci powstała:

\(\displaystyle{ arcsin(x)=t}\)
\(\displaystyle{ x=sin(t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-x ^{2} } }dx=dt}\)
później przyda się jeszcze:
\(\displaystyle{ x ^{2} =sin ^{2} t}\)
czyli
\(\displaystyle{ cos(t)= \sqrt{1-x ^{2} }}\)

Po podstawieniu powinna Ci wyjść całka:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} t \cdot sin(t) dt}\)

Powstałą całkę ciachamy przez części.

[jaranna]

Już rozwiązałam Dzięki za pomoc
A macie może jakiś pomysł na to:
354458.htm

[rafalpw]

Próbowałam ale dochodzę do momentu, w którym nie wiem co dalej zrobić:
\(\displaystyle{ \int (\arcsin x)^2 = \begin{vmatrix} u'=1&u=x\\v=(\arcsin x)^2&v'= \frac{2\arcsin x}{ \sqrt{1-x^{2}} } \end{vmatrix} = x(\arcsin x)^2 -2 \int \frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x^{2}} }}\)
i tutaj się zacinam...

\(\displaystyle{ \int \frac{x \arcsin x}{ \sqrt{1-x^{2}} }\mbox{d}x=\int \left( - \sqrt{1-x^2} \right)' \arcsin x \mbox{d}x=- \left( \sqrt{1-x^2}\right) \arcsin x +\int \frac{ \sqrt{1-x^2} }{ \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x \medskip = - \left( \sqrt{1-x^2} \right) \arcsin x + x + C}\)