Trzy całki krzywoliniowe

kozbialek · Post autor: **kozbialek** » 4 wrz 2009, o 13:42

1. \(\displaystyle{ \int_{K}^{} \sqrt{ x^{2}+y^{2}} \mbox{d}l}\)
gdzie K jest obrazem krzywej
\(\displaystyle{ \left(x-1 \right) ^{2}+y^{2} =1}\)

jak mam zparametryzować tą krzywą i w jakich granicach liczyć?

2. Obliczyć \(\displaystyle{ \int_{k}^{} \left( x^{3}-y^{2} \right) \mbox{d}x +x \mbox{d}y}\) gdzie K jest łukiem krzywej \(\displaystyle{ y=x^{3}}\) od punktu \(\displaystyle{ A \left( 1,1\right)}\) do punktu \(\displaystyle{ B \left( -1,-1\right)}\)

3. Obliczyć masę prostej K o równaniu \(\displaystyle{ y=2x+1, x \in [1,14]}\) jeżeli gęstość \(\displaystyle{ \rho}\) w każdym punkcie M jest odwrotnie proporcjonalna do pierwszej współrzędnej tego punktu i w punkcie \(\displaystyle{ P \left( 1,3\right)}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \rho \left( P\right)=\rho \left( 1,3\right)=2}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc przy tych zadaniach, pozdrawiam.

luka52 · Post autor: **luka52** » 4 wrz 2009, o 21:53

ad 1. Przykładowa parametryzacja: \(\displaystyle{ (x(t), y(t)) = (1 + cos t, sin t) , ; t in [0, 2pi )}\).

ad 2. Sprowadź całkę do całki oznaczonej "pozbywając" się jednej zmiennej - x albo y.

ad 3. Skorzystaj z całki krzywoliniowej niezorientowanej - funkcją podcałkową będzie gęstość.

kozbialek · Post autor: **kozbialek** » 4 wrz 2009, o 23:59

w 3 zadaniu jak będzie wyglądał wzór na gęstość?

\(\displaystyle{ \frac{2}{x}}\) ?

luka52 · Post autor: **luka52** » 5 wrz 2009, o 08:37

kozbialek · Post autor: **kozbialek** » 5 wrz 2009, o 12:28

w tym pierwszym zadaniu po podstawieniach wychodzi mi całka \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2cost +2} \mbox{d}t}\) jak to ugryźć?

szczepanik89 · Post autor: **szczepanik89** » 5 wrz 2009, o 12:40

skad ta parametryzacja w 1 sie wyczarowala? ja tego nie rozumiem jakos

luka52 · Post autor: **luka52** » 5 wrz 2009, o 13:00

kozbialek, skorzystaj z tożsamości trygonometrycznych.
szczepanik89, standardowa parametryzacja okręgu przesunięta odpowiednio.

szczepanik89 · Post autor: **szczepanik89** » 6 wrz 2009, o 01:13

a ja bym powiedzial ze inaczej da sie to sparametryzowac
jako ze promien jest staly i sie nie zmienia to w naszym przypadku bedzie r=1
wprowadzmy teraz wspolrzedne biegunowe
\(\displaystyle{ x=rcost=cost}\)
\(\displaystyle{ y=rsint=sint}\)
\(\displaystyle{ J=r=1}\)
\(\displaystyle{ t \in [0,2\pi]}\)
wtedny nasza calka przyjmie postac:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\sqrt{cos^{2}t +sin^{2}t}\sqrt{(-sint)^{2}+cos^{2}t}dt=\int_{0}^{2\pi}dt=[t]^{2\pi}_{0}=2\pi}\)
jesli to nie jest prawdziwe albo wplyw na ten wzor ma srodek okregu to niech ktos mi to wykaze

luka52 · Post autor: **luka52** » 6 wrz 2009, o 09:52

szczepanik89, przecież liczysz całkę po zupełnie innej krzywej niż jest w zadaniu...

szczepanik89 · Post autor: **szczepanik89** » 6 wrz 2009, o 16:38

udowodnij mi to, bo nas tak uczyli parametryzowac okregi o srodku w (O.0) i promienu r