Podać funkcje i zbiory, dla których inkluzje są nieprawdziwe

[zumiq]

Podaj przykłady funkcji \(\displaystyle{ f : X\rightarrow Y}\) i zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\), \(\displaystyle{ C \subseteq Y}\) dla których nie są prawdziwe inkluzje
a) \(\displaystyle{ f(A-B) \subseteq f(A)-f(B)}\)
b) \(\displaystyle{ f^{-1}(f(A)) \subseteq A}\)
c) \(\displaystyle{ C \subseteq f(f^{-1}(C))}\)

Odkopany temat z 2007 roku, ale ja też nie mogę wymyślić nic odkrywczego. Czy ktoś mógłby podać jakąś wskazówkę?

PS. Znalazłem ten temat w innej kategorii, ale raczej powinien być tutaj. Proszę o usunięcie "Przyklady braku inkluzji"

[Arecki123]

Co to jest obraz i przeciwobraz wiesz no nie?;) Szukaj wśród funkcji, które nie są iniekcjami.

[Jan Kraszewski]

W c) chodzi o funkcję, która nie jest surjekcją.

JK

[zumiq]

\(\displaystyle{ f^{-1}}\) to przeciwobraz czy funkcja odwrotna? Nie bardzo to czuję...

[Arecki123]

przeciwobraz

[zumiq]

nie wiem czy moje rozumowanie jest poprawne...
a)
\(\displaystyle{ A=\left\{ -2, 1\right\} \\
B=\left\{ 1, 2\right\} \\
f(x)=x^{2} \\
f(A-B)=\left\{ 4\right\} \\
f(A)-f(B)=\left\{ 4, 1\right\} - \left\{ 1, 4\right\} =\emptyset \\
\{4\} \neq \emptyset}\)
koniec? to ma sens?

-- 5 sty 2014, o 17:34 --

Analogicznie..
b)
\(\displaystyle{ A=\left\{ -2, 1\right\} \\
f(x) = x^{2} \\
f(A) = \left\{ 1, 4\right\} \\
f^{-1}(f(A)) = \left\{ -2, 2\right\} \\
\left\{ -2, 2\right\} \subsetneq \left\{ -2, 1\right\}}\)
znów czy ma to sens?

-- 5 sty 2014, o 17:41 --

...Analogicznie...
c)
\(\displaystyle{ C = \left\{ -2, 1\right\} \\
f(x) = x^{2} \\
f^{-1}(C) = \left\{ 1\right\} \\
f(f^{-1}(C))= \left\{ 1\right\} \\
\left\{ -2, 1\right\} \subsetneq \left\{ 1\right\}}\)

coś tu musi być nie tak, za łatwo poszło.
ewentualnie dalej czegoś nie pojmuję...
skorzystałem tylko z definicji obrazu i przeciwobrazu oraz wskazówek, które dostałem. (może błędnie?)

[Jan Kraszewski]

a)
\(\displaystyle{ A=\left\{ -2, 1\right\} \\
B=\left\{ 1, 2\right\} \\
f(x)=x^{2} \\
f(A-B)=\left\{ 4\right\} \\
f(A)-f(B)=\left\{ 4, 1\right\} - \left\{ 1, 4\right\} =\emptyset \\
\{4\} \neq \emptyset}\)
koniec? to ma sens?

Dobrze.

b)
\(\displaystyle{ A=\left\{ -2, 1\right\} \\
f(x) = x^{2} \\
f(A) = \left\{ 1, 4\right\} \\
f^{-1}(f(A)) = \left\{ -2, 2\right\} \\
\left\{ -2, 2\right\} \subsetneq \left\{ -2, 1\right\}}\)
znów czy ma to sens?

Przykład dobry, ale uzasadnienie niepoprawne - źle wyznaczyłeś przeciwobraz.

c)
\(\displaystyle{ C = \left\{ -2, 1\right\} \\
f(x) = x^{2} \\
f^{-1}(C) = \left\{ 1\right\} \\
f(f^{-1}(C))= \left\{ 1\right\} \\
\left\{ -2, 1\right\} \subsetneq \left\{ 1\right\}}\)

I znów, przykład dobry, ale błąd w uzasadnieniu, bo znów źle wyznaczyłeś przeciwobraz.

Dodatkowo, określając funkcję, powinieneś podawać też jej dziedzinę i przeciwdziedzinę, np. \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\).

JK

[zumiq]

Mam taką definicję przeciwobrazu:
\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\)
\(\displaystyle{ C \subseteq Y}\)

\(\displaystyle{ f^{-1}(C) = \left\{ x \in X: f(x) \in C\right\} \subseteq X}\)

jeśli damy sobie np.
\(\displaystyle{ f: \RR\rightarrow\RR}\)
\(\displaystyle{ f(x) = x^{2}}\)
\(\displaystyle{ C=\left\{ 1\right\}}\)
to \(\displaystyle{ f^{-1}(C)}\) nie jest równe \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) ?

[Jan Kraszewski]

Nie, \(\displaystyle{ f^{-1}(C)=\{-1,1\}.}\)

JK

[zumiq]

No jasne! co za baran ze mnie, dziękuję -- 5 sty 2014, o 18:49 --

(...)
b)
\(\displaystyle{ f^{-1}(f(A)) = \left\{ -2, 2\right\} \\}\)
(...)
\(\displaystyle{ \left\{ -2, 2\right\} \subsetneq \left\{ -2, 1\right\}}\)
(...)
c)
\(\displaystyle{ f^{-1}(C) = \left\{ 1\right\} \\}\)
(...)

Więc dopisuję wszędzie \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) oraz cytowane wiersze zamieniam na:
(...)
b)
\(\displaystyle{ f^{-1}(f(A)) = \left\{ -2,\red-1, 1\black, 2\right\} \\}\)
(...)
\(\displaystyle{ \left\{ -2,\red-1, 1\black, 2\right\} \subsetneq \left\{ -2, 1\right\}}\)
(...)
c)
\(\displaystyle{ f^{-1}(C) = \left\{ \red-1\black, 1\right\} \\}\)
(...)

teraz jest w porządku?

[Jan Kraszewski]

Tak, teraz w porządku.

JK