dwa trójkąty, jeden problem.

[AndrzejK]

Dwa trójkąty prostokątne jeden o kącie \(\displaystyle{ 60^\circ}\), a drugi równoramienny, są złożone tak jak na rysunku. Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\). Odległość pomiędzy punktami A i C wynosi:
Jestem w stanie podać pole, długości odcinków, kąty, ale za cholerę nie wiem jak obliczyć długość tego odcinka. Mógłbym prosić o wskazówki?

[Ania221]

A rysunek?

[AndrzejK]

już dodałem, przepraszam .

[mortan517]

Jeżeli \(\displaystyle{ 2}\) przeciwległe kąty są proste, tzn. że możemy na tym czworokącie opisać okrąg, więc \(\displaystyle{ \left| AC\right|=\left| BD\right|}\).

[AndrzejK]

No to fajnie, że nawet o tym nie wiedziałem . Teraz wszystko jasne, dzięki. Wiesz może czy istnieje jakiś zbiór takich dosyć znanych twierdzeń, które się przydają?

[mortan517]

Ale do czego? Do matury? Tutaj powinna być większość .

[Simon86]

Oblicz długości boków \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| BC\right|}\). A następnie skorzystaj z twierdzenia kosinusów. Już ci ułożyłem równanie z którego obliczysz \(\displaystyle{ \left| AC\right|}\).

\(\displaystyle{ \left( \left| AC\right| \right)^{2} = \left( \left| AB\right| \right)^{2} + \left( \left| BC\right| \right)^{2} - 2 \cdot \left| AB\right| \cdot \left| BC\right| \cos \left( 60^{o} + 45^{o}\right)}\)

[a4karo]

Nie jest prawdą to, co napisał mortan517. \(\displaystyle{ AC}\) jest średnica okręgu, a \(\displaystyle{ BD}\) nie.

[AndrzejK]

To jak to rozwiązać nie używając trygonometrii?

[mortan517]

a4karo, racja, strzeliłem głupotę.

[bakala12]

Jeżeli 2 przeciwległe kąty są proste, tzn. że możemy na tym czworokącie opisać okrąg, więc \(\displaystyle{ \left| AC\right|=\left| BD\right|}\).

Pierwszy fakt jest oczywiście prawdziwy, natomiast drugi to bzdura.
Do policzenia \(\displaystyle{ AC}\) wygodnie jest użyć twierdzenia Ptolemeusza.

[AndrzejK]

dobra ja sobie odpuszczę te zadania, one chyba są zbyt wymagające.

[wujomaro]

AndrzejK, a czemu nie chcesz wykorzystywać trygonometrii? Z tego idzie najszybciej. Tak jak powiedział Simon86, twierdzenie cosinusów i gotowe.
Pozdrawiam!

[AndrzejK]

nie chcę jej wykorzystywać bo jej jeszcze nie miałem, chyba że ktoś mi to wytłumaczy w pigułce, tak, żebym zrozumiał .

[Simon86]

To skorzystaj ze wskazówki bakala12.

Zgodnie z twierdzeniem które podał: iloczyn długości przekątnych jest równy sumie iloczynów długości przeciwległych boków. No jeśli czworokąt jest wpisany okrąg.

\(\displaystyle{ \left| AC\right| \cdot \left| BD\right| = \left| AB\right| \cdot \left| CD\right| + \left| AD\right| \cdot \left| BC\right|}\)

pochwal się wynikiem później