gradient funkcji

[leszczu450]

Cześć!

W notatkach natknąłem się na pojęcie gradientu funkcji. Bardzo mało informacji zostało o tym podanych na wykładzie więc z góry przepraszam za moje braki. Chciałem się zapytać o czym tak na dobrą sprawę mówi nam gradient funkcji? Niewątpliwie jest to wektor, którego współrzędnymi są kolejne pochodne czątkowe. Czy to jest definicja? Czy może z czegoś to wynika? Czy gradient jest tylko jeden dla całej funkcji? Czy może gradient liczymy w dowolnym punkcie, a więc jest ich nieskończenie wiele? Wikipedia bardzo mało o tym mówi. Szczątkowe informacje znalazłem w książce F. Leji.

Z góry dziękuję za pomoc.

[szw1710]

Wektor gradientu jest styczny do danej powierzchni. Tak jak pochodna funkcji jednej zmiennej jest współczynnikiem kierunkowym stycznej.

[leszczu450]

szw1710, gradient mówi o kierunku najszybszego wzrostu wartości, tak? Dlaczego zatem \(\displaystyle{ \nabla f(x):= \begin{bmatrix} \frac{ \partial f}{ \partial x_1}(x) \\\vdots\\ \frac{ \partial f}{ \partial x_n}(x) \end{bmatrix}}\). Skąd wiemy, ze akurat w kierunku takiego wektora funkcja w danym punkcie rośnie najszybciej?

[szw1710]

Trzeba sobie obciąć tę funkcję do prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ \mathbf{x_0}}\) w którym piszesz gradient. Dostaniesz funkcje typu \(\displaystyle{ \RR\to\RR}\). Zbadaj ich pochodne i zobacz która ma największy moduł.

Pęk prostych przechodząych przez \(\displaystyle{ \mathbf{x_0}}\) ma równanie \(\displaystyle{ \mathbf{x}=\mathbf{x_0}+\mathbf{a}t}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{a}}\) jest wektorem równoległym do prostej, a \(\displaystyle{ t\in\RR}\) jest parametrem. Więc bierzesz funkcje postaci \(\displaystyle{ g_a(t)=f(\mathbf{x_0}+\mathbf{a}t)}\) i zwyczajnie liczysz ich pochodne. Pochodne funkcji jednej zmiennej. Rozpoznajesz tutaj coś?

[leszczu450]

szw1710, rozpoznaje tutaj definicję pochodnej kierunkowej i chyba po prostu definicje pochodnej funkcji wielu zmiennych \(\displaystyle{ Df : \mathcal{O} \to L(\RR^n ,\RR)}\) , gdzie \(\displaystyle{ L(\RR^n, \RR)}\) to przestrzerń funkcjonałów liniowych nad \(\displaystyle{ \RR^n}\).

[szw1710]

Z tym drugim już przesadzasz. Po prostu pochodne kierunkowe. A więc masz pytanie, w kierunku jakiego wektora pochodna kierunkowa na największy moduł. Nieprawdaż?

[leszczu450]

szw1710, zgadza się. Więc wybieram sobie punkt, obicnam funkcję, patrzę wzdłuż jakiego wektora, spośród tych stycznych do tego punktu, funkcja rośnie najszybciej i następnie gradientem staje się ten wektor dla którego funkcja rośnie najszybciej. Zgadza się?

[szw1710]

Tak. Przelicz, sprawdź.

[leszczu450]

szw1710, ale ja nic nie licze, tylko czytam wykład. Dziwi mnie nadal skąd taki wzór: \(\displaystyle{ \nabla f(x):= \begin{bmatrix} \frac{ \partial f}{ \partial x_1}(x) \\\vdots\\ \frac{ \partial f}{ \partial x_n}(x) \end{bmatrix}}\) ?

Przecież to się nijak ma do wybierania wektora wzdłuż któego funkcja najszybciej rośnie.

[yorgin]

Dziwi mnie nadal skąd taki wzór: \(\displaystyle{ \nabla f(x):= \begin{bmatrix} \frac{ \partial f}{ \partial x_1}(x) \\\vdots\\ \frac{ \partial f}{ \partial x_n}(x) \end{bmatrix}}\) ?

Pytanie jest dziwne. Tak definiuje się gradient, taki jest jego wzór. Tak samo, jak równaniem okręgu jest \(\displaystyle{ x^2+y^2=r^2}\).

Przecież to się nijak ma do wybierania wektora wzdłuż któego funkcja najszybciej rośnie.

Może i nijak, ale dowodzi się, że jednak taki wybór to właśnie wybór kierunku najszybszego wzrostu.

[leszczu450]

yorgin, a no czyli nie jest to taka po prostu sobie definicja, tak? Skoro mówisz, że dowodzi się tego, że akurat taki wektor, którego wspołrzędne to kolejne pochodne cząstkowe, to wektor gradientu, to coś tu jest na rzeczy.

Czyli to co pisał szw1710 oznacza, że wybrany kierunek zawsze będzie kierunkiem wektora bazowego, tak?

[Dasio11]

Wektor gradientu jest styczny do danej powierzchni.

Hę?

[szw1710]

OK. Hiperpłaszczyzna styczna do powierzchni \(\displaystyle{ z=f(\mathbf{x})}\) w punkcie \(\displaystyle{ \mathbf{x_0}}\) ma równanie \(\displaystyle{ z-f(\mathbf{x_0})=\nabla f(\mathbf{x_0})\circ (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})}\) i wektor gradientu jest do tej hiperpłaszczyzny prostopadły.

Natomiast dla linii danej równaniem parametrycznym \(\displaystyle{ x=x(t)\;,y=y(t),\;z=z(t)}\) wektor \(\displaystyle{ \bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr)}\) jest styczny do tej linii. Dwa fakty pomyliłem. Dziękuję.

[leszczu450]

O kurcze, nie wiem już o czym rozmawiacie.

[szw1710]

Nie przejmuj się. Napisałem błędnie, że wektor gradientu jest styczny do krzywej. Tak nie jest, bo gradient określa kierunek prostopadły. Ale do głównego wątku dyskusji to nie należy i spokojnie możesz to pominąć.