Belka utwierdzona obciążona równomiernie na pewnej długości

[anton753159]

Mógłby ktoś zerknąć, czy dobrze wyznaczyłem równanie lini ugięcia? Wzoru dla takiej belki nie znalazłem w żadnych tablicach, więc spróbowałem swoich sił w samodzielnym policzeniu. Nie napisałem stałych całkowania, wynoszą one zero w obu przypadkach. Po podstawieniu rozpiętości całej belki wynikiem powinno być maksymalne ugięcie, mam rację?



Po podstawieniu otrzymałem taki twór:
\(\displaystyle{ f_{max} = \frac{q}{2EJ}[a^{2}(- \frac{1}{12}a^{2}- \frac{3}{2}b^{2}-ab)+ b^{3}( \frac{1}{4}b+ \frac{11}{6}a)]}\)

[kruszewski]

Nie wdając się w rachunki brakuje mi tu stałych całkowania.

[anton753159]

Zdaję sobie z tego sprawę, milcząco przyjąłem, że są równe 0 przy obu operacjach całkowania opierając się o dane znalezione w pewnym skrypcie w internecie. Było tam napisane, że z kinematycznych warunków brzegowych dla utwierdzenia przyjmuje się, że obie stałe mają wartość 0. Być może się mylę, całek nikt mnie nie uczył, wiem tyle, ile wyczytałem z książek.

Przeczytałem wszystko raz jeszcze, i stałe są tam wyznaczane z równań y'(0)=0 oraz y(0)=0. W moim przypadku w obu przypadkach x stoi przed nawiasami w którcych są stałe, więc po podstawieniu 0 w jego miejsce wystąpi mnożenie przez 0. Wynikiem będzie \(\displaystyle{ C_{1}=0}\) i \(\displaystyle{ C_{2}=0}\). Popełniam gdzieś błąd? Może powinienem uwzględnić coś dodatkowo z uwagi na to, że rozpatruję drugi przedział?

[kruszewski]

Trzeba wykorzystać warunek ciągłości linii belki a stąd równość kątów obrotu na wspólnej granicy przedziałów. Kąt obrotu na końcu przedziału "od lewej" równy jest kątowi obrotu przekroju na początku przedziału z obciążeniem ciągłym. Stąd będzie stała całkowania dla pierwszego całkowania równania.

[anton753159]

Pisze Pan o takim samym kącie ugięcia, czyli jak mniemam pierwsze pochodne równań momentów w obu przedziałach mają być równe. Jak jednak powiązać to ze stałą całkowania? Nie mam doświadczenia w analizie takich przypadków. Czy chodzi o to, żeby przyrównać pierwszą pochodną z równania momentów w jednym z przedziałów do zera z dodaną stałą całkowania i wyznaczyć ją z tej równości?

[kruszewski]

Dla pierwszego ( tego gołego) przedziału mamy równanie \(\displaystyle{ EI \cdot y'' =(.....)_1}\)
Po pierwszym całkowaniu \(\displaystyle{ EI \cdot y' = [......]_1 +C_1}\)
Po drugim \(\displaystyle{ EI \cdot y=[[.......]]_1+C_1 \cdot x+D_1}\)

Dla drugiego przedziału mamy:
\(\displaystyle{ EI \cdot y''= (........)_2}\)
\(\displaystyle{ EI \cdot y' =[.......]_2 + C_2}\)
\(\displaystyle{ EI \cdot y=[[........]]_2 +c_2 \cdot x+D_2}\)
Na granicy przedziałów muszą zachodzić równości:

\(\displaystyle{ EI \cdot y' = [......]_1 +C_1}\)=\(\displaystyle{ EI \cdot y' =[.......]_2 + C_2}\)

Stąd \(\displaystyle{ C_1 \ i \ C_2}\)

oraz:\(\displaystyle{ EI \cdot y=[[.......]]_1+C_1 \cdot x+D_1}\)=\(\displaystyle{ EI \cdot y=[[.......]]_2 +C_2 \cdot x+D_2}\)
Stąd \(\displaystyle{ D_1 \ i D_2}\)

Myślę, że zapis nie sprawia kłopotów z odczytaniem idei.

W.Kr.

[anton753159]

Oczywiście, że nie. Teraz już wiem o co chodzi. Dziękuję bardzo!

Tylko dla pewności, w nawiasach kwadratowych mamy odpowiednio pierwszą i drugą całkę z momentu?

[kruszewski]

Tak !

[anton753159]

\(\displaystyle{ EI \cdot y' = [......]_1 +C_1}\)=\(\displaystyle{ EI \cdot y' =[.......]_2 + C_2}\)

Stąd \(\displaystyle{ C_1 \ i \ C_2}\)

Mam jeszcze tylko wątpliwość co do tej równości. Tej zależności należy użyć do ułożenia układu równań? Za y' mogę podstawić całkę z dowolnego z momentów wraz ze stałą całkowania? Trochę się w tym zgubiłem. Chyba należy podstawiać y' bez tej samej stałej co występujący po 2 stronie moment, żeby stałe całkowania się nie skracały? Przepraszam za tyle pytań, i to pewnie banalnych, ale nigdy jeszcze nie wyznaczałem stałych całkowania, nie było mi to potrzebne.