Równania diofantyczne

[monn933]

\(\displaystyle{ 1.}\)Rolnik zakupił \(\displaystyle{ 100}\) sztuk zwierząt za \(\displaystyle{ 1000}\) złotych. Konie kosztowały \(\displaystyle{ 120}\) złotych każdy, owce \(\displaystyle{ 50}\) każda, kozy \(\displaystyle{ 25}\) każda. Ile sztuk każdego ze zwierząt zakupił, zakładając, że z każdego gatunku zakupił co najmniej jedną sztukę?

Myślałam, że da coś ułożenie układu równań, ale wychodzi mi wynik ujemny.

\(\displaystyle{ 2.}\) Kiedy pan Kowalski zrealizował czek w banku, kasjer pomylił liczbę złotych z liczbą groszy i vice versa. Potem, nieświadomy pomyłki pan Kowalski wydał \(\displaystyle{ 68}\) groszy i zorientował się, że ma dwa razy więcej gotówki niż suma wypisana na czeku. Jaką najmniejszą sumę mógł wypisać pan Kowalski na czeku?

Bardzo proszę o jakiekolwiek pomysły/podpowiedzi.

[mateus_cncc]

hmmm
mysle ze koni musi kupic 5 lub 10 lub 15 lub 20 itd ze wzgledu na jego cene czyli 120 zł


czyli musi kupic dokladnie 5 koni bo jak kupi 10 to przekroczy budżet

[a4karo]

Jak liczysz, że wychodzą Ci ujemne wyniki?

Wsk. Ile koni musi kupić, żeby reszta była podzielna przez 25?
Zadanie nie ma kilka rozwiązań (bo owca może być zastąpiona przez dwie kozy)

[vpprof]

Ad 1
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=100 \\ 24a+10b+5c=200 \end{cases}}\)
z tego mamy \(\displaystyle{ 24\left( 100-b-c\right)+10b+5c= 2400 - 14 b - 19 c=200}\) czyli \(\displaystyle{ 14b+19c=2200}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ 5c = 2 \Leftrightarrow c=6 \pmod{14}}\).

Czyli \(\displaystyle{ \boxed{c=6+14k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \NN_0}\). Podstawiamy i mamy \(\displaystyle{ \boxed{b=149-19k}}\). I podstawiamy i mamy \(\displaystyle{ a+6+14k+149-19k=100}\) czyli \(\displaystyle{ \boxed{a=5 (-11 + k)}}\).

Chcemy jednocześnie, by liczby zwierząt były dodatnie czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
5 (-11 + k)>0 \\
149-19k>0 \\
6+14k>0
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
k>11 \\
k \le 7 \\
k \ge 0
\end{cases}}\)

Zastosowałem jednocześnie warunek, że \(\displaystyle{ k \in \NN_0}\), stąd te „dziwne” wyniki. Jak widać, układ nie ma rozwiązań.

[a4karo]

Jak zwierząt ma być 100, to w sumie muszą kosztować co najmniej 2500 zł (same kozy).

[vpprof]

Sprawdziłem brute-forcem \(\displaystyle{ 6400}\) sensownych przypadków — nie ma rozwiązań

-- 3 sty 2014, o 23:42 --

Ad 2
\(\displaystyle{ 100g+z-68=2(100z+g) \\
98g-199z=68 \\
98g \equiv_{199} 68 \\
g=21+199k,\ k\in\NN_0 \\
z= \frac{1990+98 \cdot 199k}{199}=10+98k}\)

Oczywiście suma będzie najmniejsza, gdy \(\displaystyle{ k=0}\), czyli \(\displaystyle{ 21\ $zł$\ 10\ $gr$-68\ $gr$=2 \cdot ( 10\ $zł$\ 21\ $gr$ )}\).