przykład zbióru częściowo uporządkowanego

[Cosinusoida89sonia]

Podać przykład takiego zbioru częściowo uporządkowanego , który ma element
pierwszy, oraz dla każdego elementu istnieje element następujący bezpośrednio
po nim i dla każdego, z wyjątkiem pierwszego, istnieje element bezpośrednio
go poprzedzający, a który nie jest przypadkowo izomorficzny ze zbiorem
liczb naturalnych.

[Spektralny]

\(\displaystyle{ (\{(x,y)\colon x,y\in \{0,1,2,3, \ldots \}\}, \leqslant)}\)

z porządkiem określonym następująco:

* \(\displaystyle{ (0,0)<(x,y)}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ (x,y)\neq (0,0)}\),

* "gałęzie" \(\displaystyle{ \{(0,y)\colon y \in \{0,1,2,3, \ldots \}\}, \{(x,0)\colon x \in \{0,1,2,3, \ldots \}\}}\) są izomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\),

* elementy \(\displaystyle{ (x,0), (0,y)}\) są nieporównywalne, gdy \(\displaystyle{ x\neq 0 \neq y}\).

[yorgin]

A może zbiór liczb naturalnych bez zera z relacją podzielności?

[Cosinusoida89sonia]

a może własnie zbiór liczb naturalnych z zerem z relacją podzielności??
jest to porządek częściowy.

żeby pokazać że nie jest on porządkowo izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych
korzystamy z tego że jeśli dwa zbiory są porządkowo izomorficzne to maja taką samą strukturę czyli taką samą liczbę elementów maksymalnych minimalnych oraz oba mają bądź nie elemant najmniejszy lub i największy.

No i w zbiorze liczb naturalnych ze zwykłą relacją porządku większy mniejszy mamy element jedyny minimalny który jest jednocześnie najmniejszym czyli zero i nie ma tam największego ani maksymalnych

natomiast w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,...\}}\) z relacją podzielności mamy element najmniejszy który jest jedynym minimalnych czyli jedynka i mamy największy zero bo każda liczba dzieli zero.

dobrze to jest?????????

[yorgin]

natomiast w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,...\}}\) z relacją podzielności mamy element najmniejszy który jest jedynym minimalnych czyli jedynka i mamy największy zero bo każda liczba dzieli zero.
symalnych

\(\displaystyle{ 0}\) nie ma następnika, co przeczy założeniom zadania.

dobrze to jest?????????

Wystarczy jeden znak zapytania. Większa liczba może być odbierana różnie.

[Cosinusoida89sonia]

Faktycznie nie zwróciłam na to uwagi, że zero nie ma następnika..
a w przykładzie:

\(\displaystyle{ (\{(x,y)\colon x,y\in \{0,1,2,3, \ldots \}\}, \leqslant)}\)

z porządkiem określonym następująco:

* \(\displaystyle{ (0,0)<(x,y)}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ (x,y)\neq (0,0)}\),

* "gałęzie" \(\displaystyle{ \{(0,y)\colon y \in \{0,1,2,3, \ldots \}\}, \{(x,0)\colon x \in \{0,1,2,3, \ldots \}\}}\) są izomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\),

* elementy \(\displaystyle{ (x,0), (0,y)}\) są nieporównywalne, gdy \(\displaystyle{ x\neq 0 \neq y}\).

uzasadnienie że taki zbiór nie jest porządkowo izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych może być takie, że w zborze liczb natuarlnych każde dwa elementy są ze sobą porównywalne a tutaj tak nie jest.
?

[yorgin]

Zgadza się.

[BSP]

Właśnie trafiłem na to samo zadanie we "Wstępie do teorii mnogości i topologii" K. Kuratowskiego, tylko delikatnie inaczej sformułowane (typ porządkowy \(\displaystyle{ \omega}\) liczb naturalnych zamiast izomorfizmu z \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)) i zastanowiło mnie co dokładnie rozumie on poprzez element bezpośrednio poprzedzający (następujący) w sensie częściowego porządku, gdyż nie było to nigdzie zdefiniowane, a (wydaje mi się, że) może powodować dwuznaczności.

Czy chodzi po prostu o to, że dla zbioru częściowo uporządkowanego \(\displaystyle{ (X, \le)}\) element \(\displaystyle{ \ x \in X}\) jest bezpośrednio poprzedzającym \(\displaystyle{ \ y \in X,}\) jeśli nie istnieje element \(\displaystyle{ z \in X}\) różny od elementów \(\displaystyle{ x,y}\) i taki, że

\(\displaystyle{ (x \le z ) \wedge ( z \le y)}\) ?

Czyli możemy np. wziąć rodzinę wszystkich nieskończonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ R \subset 2^{\mathbb{N}}}\) z porządkiem \(\displaystyle{ \supseteq}\), czyli dla \(\displaystyle{ A,B \in R}\) mamy \(\displaystyle{ (A \supseteq B ) \Longleftrightarrow ( B \subseteq A)}\) i będzie to rozwiązanie naszego problemu?

Mianowicie, element pierwszy istnieje i jest nim \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\), gdyż dla każdego \(\displaystyle{ Y \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mathbb{N} \supseteq Y}\).
Także, dla każdego elementu \(\displaystyle{ X \in R}\) istnieje element (a nawet nieskończenie wiele takich elementów) bezpośrednio następujący i (poza elementem \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)) bezpośrednio poprzedzający go, wystarczy bowiem wziąć jako element bezpośrednio następujący X:

\(\displaystyle{ X \setminus \left\{ x \right\}, \quad \quad x \in X}\)

a jako element poprzedzający X:

\(\displaystyle{ X \cup \left\{ x \right\}, \quad \quad x \not\in X}\).

Bo zakładam, że mówiąc o elemencie bezpośrednio poprzedzającym (następującym) może istnieć wiele takich elementów i nie mamy jednoznaczności? Czy może spotykamy się tutaj z różnymi definicjami, tak jak np. czasami dochodziło do nieporozumień z relacją antysymetryczną, traktowaną nieraz jako relacja przeciwsymetryczna (asymetryczna) a nie, jak to się teraz zazwyczaj (?) przyjmuje, relacja słabo antysymetryczna?