sprawdzic czy ciag jest zbiezny

[karolina150490]

czy możne ktoś pomóc w tego typu zadaniach
Sprawdzić czy ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbieżny jeśli tak znaleźć jego granice
a) \(\displaystyle{ x_n=\left( \frac{n+1}{2n} , \frac{n+1}{2 ^{2} n}, \frac{n+1}{2 ^{3} n} \right)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ l ^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ x_{n} (t)= \sqrt[n]{t} , t \in \left[ 0,1\right]}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ L ^{ \infty }(0,1)}\)
c) \(\displaystyle{ x_{n} (t)=\arctan nt , t \in \left[ -1,1\right]}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ L ^{ 1}(-1,1)}\)

[szw1710]

a) Zabrakło Ci trzech kropek. Mamy mieć ciąg ciągów. Więc \(\displaystyle{ x_n=\frac{n+1}{n}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\dots\right)}\). Policz normę \(\displaystyle{ \ell^2}\) tego ciągu w nawiasie. Czynnik przed tym ciągiem zmierza do jednego. To kluczowa informacja. Ten ciąg w nawiasie jest elementem stałym w ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\). Granica jest aż za bardzo widoczna.

[karolina150490]

a) korzystając z tego ze \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }x_n=x}\) jesli \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ||x_n-x||=0}\) to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } x_n= \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2 ^{2} }... \right) =x}\)
\(\displaystyle{ ||x_n-x||=\left( \sum_{ i=1}^{ \infty }\left| x_{n}^i-x^{i}\right| ^2 \right)^ \frac{1}{2}= \left( (\frac{1}{2n})^2+ (\frac{1}{2^2n})^2....\right)^ \frac{1}{2}=\left( \frac{1}{n^2} \left( \frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^4}...\right) \right)^ \frac{1}{2}=\frac{1}{n}\left( \frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^4}...\right) ^ \frac{1}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } ||x_n-x||=\lim_{ n\to \infty }\frac{1}{n}\left( \frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^4}...\right)^ \frac{1}{2} =0}\)
czyli ciag jest zbiezny do \(\displaystyle{ x=\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2 ^{2} }... \right)}\)
to tak ma byc ?

[Marien]

\(\displaystyle{ \left| \left| x _{n} \right| \right| = \frac{1}{ \sqrt{3} } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)}\) , więc \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left| \left| x _{n} \right| \right| = \frac{1}{ \sqrt{3} }}\), ale nadal nie wiemy czy ciąg ten jest zbieżny. Wiemy tylko, że nie jest zbieżny do \(\displaystyle{ \left( 0,0,0...\right)}\). Dalej już niestety nie wiem jak to sprawdzić.

[szw1710]

Chyba \(\displaystyle{ \|x_n\|=1+\frac{1}{n}}\). A czy wobec tego nie pasuje tu ciąg \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\dots\right)?}\) Jako kandydat na granicę. Owszem, trochę mylnie podałem polecenie wyznaczenia normy z \(\displaystyle{ x_n}\). Idź za obecną wskazówką.

[Marien]

Będzie, wiec tak jeśli \(\displaystyle{ a= \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2 ^{2} }, \frac{1}{2 ^{3} },\cdot\right)}\). To \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left| \left| x _{n} -a\right| \right|= 0}\), więc ciąg \(\displaystyle{ \left( x _{n} \right)}\) dąży do punktu \(\displaystyle{ a}\)

[szw1710]

No właśnie.

[Marien]

c)Moim zdaniem będzie tak
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x _{n}\left( t\right) =\lim_{n\to\infty} \arctan nt= \frac{ \pi }{2}}\), więc \(\displaystyle{ x\left( t\right) = \frac{ \pi }{2}}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left[ -1,1\right]}\). Następnie należy obliczyć granicę z normy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left| \left| x _{n} \right| \right| = \pi}\), jeśli się nie pomyliłam w obliczeniu całki. Czyli ciąg ten jest zbieżny.

[szw1710]

A co będzie dla \(\displaystyle{ t<0}\)?

[Marien]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} x _{n} \left( t\right) =\left\{\begin{array}{l} \frac{ \pi }{2} \ dla \ t>0\\0 \ dla \ t=0\\- \frac{ \pi }{2} \ dla \ t<0 \end{array}}\)

-- 4 sty 2014, o 20:26 --

więc jaka będzie teraz odpowiedź do tego zadania?

[szw1710]

Oznacz tę granicę punktową przez \(\displaystyle{ x(t)}\) i policz normę \(\displaystyle{ \|x_n-x\|}\) w \(\displaystyle{ L^1[-1,1]}\).

[Marien]

Trzeba obliczyć trzy całki? A następnie obliczyć granice przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)? Każda z granic jest równa zero, więc ciąg ten jest zbieżny.

[szw1710]

Jeśli to co mówisz o całkach, jest prawdą (nie liczyłem), to tak. Ale w pierwotną wchodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), więc tak będzie.