o co chodzi w tym zadaniu???
Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd t} \int_{0}^{1} \frac{\arctg(tx)}{x \sqrt{1-x^2} }\dd x}\) i zastosować otrzymany wynik do wyznaczenia \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\arctg(tx)}{x \sqrt{1-x^2} } \dd x}\)
jak sie takie zadania rozwiazuje
różniczka całki
-
- Użytkownik
- Posty: 430
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 54 razy
różniczka całki
Ostatnio zmieniony 3 sty 2014, o 13:14 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat lepiej pasuje do działu 'Rachunek całkowy'. Niepoprawny zapis funkcji elementarnej: arcus tangens - \arctg lub \arctan (por. punkt 2.7. instrukcji LaTeX-a).
Powód: Temat lepiej pasuje do działu 'Rachunek całkowy'. Niepoprawny zapis funkcji elementarnej: arcus tangens - \arctg lub \arctan (por. punkt 2.7. instrukcji LaTeX-a).
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
różniczka całki
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\langle 0,1\rangle\times\RR\to\RR}\) daną wzorem \(\displaystyle{ f(x,t)=\frac{\arctg(tx)}{x\sqrt{1-x^2}}}\). Jest to funkcja ciągła i posiada pochodną cząstkową \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{x}{1+t^2x^2}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{1}{1+t^2x^2}}\), która również jest funkcją ciągłą.
Stąd na mocy twierdzenia o różniczkowaniu całki względem parametru mamy
Stąd na mocy twierdzenia o różniczkowaniu całki względem parametru mamy
\(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd t}\int_0^1f(x,t)\dd x=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)\dd x}\).
Sądzę, że dalej sobie poradzisz.-
- Użytkownik
- Posty: 430
- Rejestracja: 6 lip 2011, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 54 razy
różniczka całki
z tego twierdzenia sobie to oblicze, ale jak potem to wykorzystac do obliczenia tego
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\arctg(tx)}{x \sqrt{1-x^2} } \dd x}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\arctg(tx)}{x \sqrt{1-x^2} } \dd x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
różniczka całki
Wystarczy scałkować względem \(\displaystyle{ t}\) funkcję \(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd t}\int_0^1f(x,t)\dd x}\).