równania funkcyjne

[całka]

Jak zrobić takie zadania:

1.Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \QQ \rightarrow \QQ}\) spełniające dla wszystkich liczb wymiernych \(\displaystyle{ x, y}\), równość
\(\displaystyle{ f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)+ 2f(y)}\)

2. Wykaż, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) spełnia \(\displaystyle{ |f(x)| \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ f(x+13)-f(x)=f(x+6)-f(x+7)}\) dla wszystkich x rzeczywistych, to \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją okresową.

3. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}\) spełniająca warunki \(\displaystyle{ f (f(1995)) =95, f (xy)=f(x)f(y), f(x)}\)
4. Wyznacz wszystkie funkcje rosnące \(\displaystyle{ f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) o tej własności, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x, y}\) rzeczywistych zachodzi równość\(\displaystyle{ f (f(x)+y)= f(x+y)+1}\)
Będę wdzięczna za pomoc

[Olo]

1.Podstawiając \(\displaystyle{ y=x=0}\), otrzymamy, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Podstawiając \(\displaystyle{ y=x}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(2x)+f(0)=2f(x)+2f(x)}\), czyli \(\displaystyle{ f(2x)=4f(x)}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ y=2x}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(3x) +f(x)=2f(x)+2f(2x)}\), czyli \(\displaystyle{ f(3x)=9f(x)}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ y=4x}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(5x)+f(3x)=2f(x)+2f(4x)}\), czyli \(\displaystyle{ f(5x)=25f(x)}\)
Analogicznie można dojść do tego, że \(\displaystyle{ f(nx)=n^{2}f(x)}\), czyli jest to funkcja kwadratowa. Trzeba to tylko skończyć:)

[dominikas14]

Czy mogłabym prosić o rozwiązanie pozostałych zadań?
Z góry dzięki za pomoc:)

[bakala12]

4.:    

Niech \(\displaystyle{ c=f\left( 0\right)}\). Kładziemy kolejno:
\(\displaystyle{ y=0}\) i mamy \(\displaystyle{ f\left( f\left( x\right) \right)=f\left( x\right)+1}\)
\(\displaystyle{ x=0}\) i mamy \(\displaystyle{ f\left( y+c\right)=f\left( y\right) +1}\)
Pokażę teraz najtrudniejszą część zadania, czyli, że \(\displaystyle{ c=1}\).
Mamy z pierwszej równości:
\(\displaystyle{ f\left( f\left( y+c\right) \right)=f\left( y+c\right)+1}\)
A z drugiej i z naszego równania wyjściowego:
\(\displaystyle{ f\left( f\left( y+c\right) \right)=f\left( f\left( y\right)+1 \right) =f\left( y+1\right) +1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ f\left( y+c\right)=f\left( y+1\right)}\)
A więc na mocy tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, więc jest różnowartościowa (prościutki dowód) mamy:
\(\displaystyle{ y+c=y+1 \\
c=1}\)
Teraz porównujemy równości pierwszą i drugą i korzystamy z różnowartościowości \(\displaystyle{ f}\) mamy:
\(\displaystyle{ f\left( f\left( x\right) \right)=f\left( x+1\right) \Rightarrow f\left( x\right)=x+1}\).
Łatwo się przekonać, że ta funkcja jest rosnąca i spełnia nasze równanie.